8. Mécanique ondulatoire
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La fonction ϕ(x − a) dans (8.15) est bien la fonction ϕ(x) translatée de +a,
et non de −a ! Si par exemple ϕ(x) au nm a x i m u màx = x 0 , ϕ(x − a) au n
maximum à x − a = x 0 , c’est-à-dire à x = x 0 + a (figure 8.1). Soulignons que
le choix ϕ a (x)=ϕ(x − a) pour la fonction d’onde translatée n’est bien sûr
pas unique. La fonction
ϕ
′
a (x)=e
iθ(x) ϕ(x − a)
se déduit de ϕ(x − a) par une transformation de jauge locale (7.65). Le choix
ϕ(x − a) est lié à celui du générateur infinitésimal des translations, et le
changement de phase ϕ a (x) → ϕ
′
a (x) serait obtenu en utilisant un générateur
infinitésimal déduit de (9.16) par la transformation de jauge locale
P
′ = e
iθ(x)
i
∂
∂x
e
−iθ(x)
(x − a)
(x )
x
(x )
x 0
x 0 + a
Fig. 8.1 – Translation de a de la fonction d’onde d’une particule localisée en x0.
En résumé, l’état physique d’une particule se déplaçant sur l’axe des x est
décrit par une fonction d’onde normalisée ϕ(x) appartenant à L
(2)
x (R)
∞
−∞
dx |ϕ(x)|
2 =1
(8.18)
qui s’interprète physiquement comme l’amplitude de probabilité x|ϕ de trouver la particule localisée au point x. L’action des opérateurs position X et
impulsion P sur ϕ(x) est donnée par (8.14) et (8.16). Le module carré
|ϕ(x)|
2 = |x|ϕ|
2
est appelé probabilité de présence de la particule au point x : en fait, il s’agit
d’une d e nsi téd ep r o b a b i l i té , dans ce cas une probabilité par unité de longueur.
La probabilité p([a, b]) de trouver la particule localisée dans l’intervalle [a, b]
est d’après (8.10)
p([a, b]) = ϕ|P[a, b]|ϕ =
b
a
dx |ϕ(x)|
2
(8.19)