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Physique quantique : Fondements
hermitien A, le projecteur P(∆) sur ce sous-espace est
P(∆) =
n∈∆
|nn|
8.1.2 Réalisation dans L
(2)
x (R)
Nous allons maintenant faire le lien entre le formalisme de Dirac que nous
venons d’expliciter dans la base où X est diagonal et la réalisation donnée
au § 7.3.2 des opérateurs X et P comme opérateurs agissant dans l’espace
L
(2) (R) des fonctions de carré sommable sur R.S o i t|ϕ un vecteur unitaire
de H représentant un état physique. En utilisant la relation de fermeture (8.9),
nous pouvons décomposer |ϕ dans la base |x
|ϕ =
∞
−∞
|x dx x|ϕ
(8.11)
où x|ϕ est donc une composante de |ϕ dans la base |x,o ue nt e r m e s
physiques, l’amplitude de probabilité de trouver la particule localisée au point
x. Examinons les éléments de matrice des opérateurs X et exp(−iPa/)
x|
X|ϕ
= Xx|ϕ = x x|ϕ = xϕ(x)
(8.12)
x
exp
− i
Pa
ϕ
= x − a|ϕ = ϕ(x − a)
(8.13)
Ces équations montrent que x|ϕ peut être identifié à une fonction ϕ(x)
de L
(2)
x (R) telle que l’action des opérateurs X et P soit donnée par (7.44).
En effet, l’équation (8.12) est
Xϕ
(x)=xϕ(x)
(8.14)
tandis que (8.13) s’écrit
exp
− i
Pa
ϕ
(x)=ϕ(x − a)
(8.15)
et en développant au premier ordre en a
Pϕ
(x)=−i
∂ϕ
∂x
(8.16)
Nous retrouvons l’action des opérateurs X et P telle qu’elle avait été définie
au § 7.3.2. Vérifions que le produit scalaire est correctement donné par (8.9)
en utilisant la relation de fermeture (8.9)
χ|ϕ =
∞
−∞
dx χ|xx|ϕ =
∞
−∞
dxχ
∗ (x)ϕ(x)
(8.17)