8. Mécanique ondulatoire
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Revenons sur l’interprétation physique : que représente exactement le vecteur
|x ? D’après les postulats du chapitre 4, |x représente un état où la position
de la particule est connue avec une précision absolue : la particule est localisée
exactement au point x sur la droite réelle. Mais, en mécanique quantique un
tel état est impossible à réaliser physiquement : comme nous allons bientôt
le voir, un tel état a toutes les impulsions possibles avec la même probabilité
entre p = −∞ et p =+ ∞. À la propriété mathématique : “|x n’est pas un
vecteur de l’espace de Hilbert” correspond la propriété physique : “|x n’est
pas un état physiquement réalisable”. Les états physiquement réalisables sont
toujours représentés par des “vrais” vecteurs de H, c’est-à-dire des vecteurs
normalisables.
Nous avons admis implicitement que les valeurs propres x de X étaient
non dégénérées. Bien sûr, ce n’est pas nécessairement le cas : par exemple,
la particule pourrait avoir un spin 1/2, auquel cas il faudrait préciser si la
particule se trouve dans un état de spin up |+ ou de spin down |−− :c h a q u e
valeur propre de X serait alors doublement dégénérée. Dans ces conditions,
l’espace de Hilbert des états serait le produit tensoriel L
(2)
x (R)⊗H 2 de l’espace
des états de position L
(2)
x (R) et de l’espace à deux dimensions des états de
spin H 2 : une base de cet espace serait par exemple formée des états |x ⊗ +
et |x ⊗−− avec
(X ⊗ σ z )|x ⊗±±= ±x|x ⊗±±
Bien que l’utilisation de vecteurs propres qui ne soient pas des véritables éléments de H soit mathématiquement contestable, elle est extrêmement commode et nous en servirons par la suite sans précautions particulières. Nous
généraliserons aussi la notion d’élément de matrice : comme l’opérateur X
est diagonal dans la base |x, nous pourrons écrire les “éléments de matrice”
de X
x
′ |X|x = xx
′ |x = xδ(x − x
′ )
(8.7)
et plus généralement ceux d’une fonction F (X)
x
′ |F (X)|x = F (x)x
′ |x = F (x) δ(x − x
′ )
(8.8)
La relation de fermeture (6.36) s’écrit
∞
−∞
|x dx x| = I
(8.9)
Le projecteur P[a, b] sur le sous-espace des valeurs propres de X dans l’intervalle [a, b] s’obtient en restreignant l’intégration sur x à cet intervalle
P[a, b]=
b
a
|x dx x|
(8.10)
Cette expression généralise celle que l’on écrirait dans un espace de dimension
finie : si ∆ est le sous-espace d’un ensemble de valeurs propres d’un opérateur
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Revenons sur l’interprétation physique : que représente exactement le vecteur
|x ? D’après les postulats du chapitre 4, |x représente un état où la position
de la particule est connue avec une précision absolue : la particule est localisée
exactement au point x sur la droite réelle. Mais, en mécanique quantique un
tel état est impossible à réaliser physiquement : comme nous allons bientôt
le voir, un tel état a toutes les impulsions possibles avec la même probabilité
entre p = −∞ et p =+ ∞. À la propriété mathématique : “|x n’est pas un
vecteur de l’espace de Hilbert” correspond la propriété physique : “|x n’est
pas un état physiquement réalisable”. Les états physiquement réalisables sont
toujours représentés par des “vrais” vecteurs de H, c’est-à-dire des vecteurs
normalisables.
Nous avons admis implicitement que les valeurs propres x de X étaient
non dégénérées. Bien sûr, ce n’est pas nécessairement le cas : par exemple,
la particule pourrait avoir un spin 1/2, auquel cas il faudrait préciser si la
particule se trouve dans un état de spin up |+ ou de spin down |−− :c h a q u e
valeur propre de X serait alors doublement dégénérée. Dans ces conditions,
l’espace de Hilbert des états serait le produit tensoriel L
(2)
x (R)⊗H 2 de l’espace
des états de position L
(2)
x (R) et de l’espace à deux dimensions des états de
spin H 2 : une base de cet espace serait par exemple formée des états |x ⊗ +
et |x ⊗−− avec
(X ⊗ σ z )|x ⊗±±= ±x|x ⊗±±
Bien que l’utilisation de vecteurs propres qui ne soient pas des véritables éléments de H soit mathématiquement contestable, elle est extrêmement commode et nous en servirons par la suite sans précautions particulières. Nous
généraliserons aussi la notion d’élément de matrice : comme l’opérateur X
est diagonal dans la base |x, nous pourrons écrire les “éléments de matrice”
de X
x
′ |X|x = xx
′ |x = xδ(x − x
′ )
(8.7)
et plus généralement ceux d’une fonction F (X)
x
′ |F (X)|x = F (x)x
′ |x = F (x) δ(x − x
′ )
(8.8)
La relation de fermeture (6.36) s’écrit
∞
−∞
|x dx x| = I
(8.9)
Le projecteur P[a, b] sur le sous-espace des valeurs propres de X dans l’intervalle [a, b] s’obtient en restreignant l’intégration sur x à cet intervalle
P[a, b]=
b
a
|x dx x|
(8.10)
Cette expression généralise celle que l’on écrirait dans un espace de dimension
finie : si ∆ est le sous-espace d’un ensemble de valeurs propres d’un opérateur