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Physique quantique : Fondements
8.1 Diagonalisation de X et de P ;f o n c t i o n s
d’onde
8.1.1 Diagonalisation de X
Nous nous proposons d’étudier le mouvement d’une particule quantique
en nous restreignant pour le moment au mouvement sur la droite réelle R :
la particule se déplace sur cette droite entre −∞ et +∞. Les grandeurs physiques pertinentes sont a priori la position et l’impulsion de cette particule,
représentées mathématiquement par des opérateurs X et P dont nous avons
établi les propriétés dans la section 7.3. Nous allons d’abord examiner les vecteurs propres de X en partant de la relation de commutation canonique entre
X et P sous la forme (7.40)
exp
i
Pa
X exp
− i
Pa
= X + aI
(8.2)
Montrons d’abord que le spectre de X est continu : soit |x un vecteur propre
de X
X|x = x|x
(8.3)
et examinons l’action de X sur le vecteur exp(−iPa/)|x
X
exp
− i
Pa
|x
=e x p
− i
Pa
(X + aI)|x
=( x + a)
exp
− i
Pa
|x
(8.4)
Nous avons utilisé la relation de commutation (8.2) et la définition (8.3) du
vecteur propre |x. Le vecteur exp(−iPa/)|x est vecteur propre de X avec
la valeur propre (x + a), et comme a est arbitraire, cela montre que toutes les
valeurs réelles de x entre −∞ et +∞ sont valeurs propres de X.O np r o u v e
ainsi que le spectre de x est continu, et que, par conséquent, la normalisation
doit s’écrire suivant (6.34) avec des fonctions delta de Dirac
x
′ |x = δ(x − x
′ )
(8.5)
Compte tenu de la discussion du § 7.3.1, le résultat (8.4) qui peut s’écrire
exp
− i
Pa
|x = |x + a
ne doit pas surprendre, car exp(−iPa/) est l’opérateur de translation de a
qui transforme l’état localisé en x, |x, en l’état |x + a localisé en (x + a).L e
vecteur |x + a vérifie une condition de normalisation analogue à (8.5), étant
donné que l’opérateur exp(−iPa/) est unitaire. On peut, si on le souhaite,
fixer la phase des vecteurs de base |x par la condition
|x =exp
− i
Px
|x =0
(8.6)
Physique quantique : Fondements
8.1 Diagonalisation de X et de P ;f o n c t i o n s
d’onde
8.1.1 Diagonalisation de X
Nous nous proposons d’étudier le mouvement d’une particule quantique
en nous restreignant pour le moment au mouvement sur la droite réelle R :
la particule se déplace sur cette droite entre −∞ et +∞. Les grandeurs physiques pertinentes sont a priori la position et l’impulsion de cette particule,
représentées mathématiquement par des opérateurs X et P dont nous avons
établi les propriétés dans la section 7.3. Nous allons d’abord examiner les vecteurs propres de X en partant de la relation de commutation canonique entre
X et P sous la forme (7.40)
exp
i
Pa
X exp
− i
Pa
= X + aI
(8.2)
Montrons d’abord que le spectre de X est continu : soit |x un vecteur propre
de X
X|x = x|x
(8.3)
et examinons l’action de X sur le vecteur exp(−iPa/)|x
X
exp
− i
Pa
|x
=e x p
− i
Pa
(X + aI)|x
=( x + a)
exp
− i
Pa
|x
(8.4)
Nous avons utilisé la relation de commutation (8.2) et la définition (8.3) du
vecteur propre |x. Le vecteur exp(−iPa/)|x est vecteur propre de X avec
la valeur propre (x + a), et comme a est arbitraire, cela montre que toutes les
valeurs réelles de x entre −∞ et +∞ sont valeurs propres de X.O np r o u v e
ainsi que le spectre de x est continu, et que, par conséquent, la normalisation
doit s’écrire suivant (6.34) avec des fonctions delta de Dirac
x
′ |x = δ(x − x
′ )
(8.5)
Compte tenu de la discussion du § 7.3.1, le résultat (8.4) qui peut s’écrire
exp
− i
Pa
|x = |x + a
ne doit pas surprendre, car exp(−iPa/) est l’opérateur de translation de a
qui transforme l’état localisé en x, |x, en l’état |x + a localisé en (x + a).L e
vecteur |x + a vérifie une condition de normalisation analogue à (8.5), étant
donné que l’opérateur exp(−iPa/) est unitaire. On peut, si on le souhaite,
fixer la phase des vecteurs de base |x par la condition
|x =exp
− i
Px
|x =0
(8.6)