Chapitre 8
Mécanique ondulatoire
Dans ce chapitre, nous allons étudier une réalisation particulière de la mécanique quantique d’une grande importance pratique : il s’agit de la mécanique
ondulatoire, qui est adaptée à la description du mouvement d’une particule
quantique
1
dans l’espace à trois dimensions R
3
. C’est cette réalisation qui sert
d’introduction aux fondements de la mécanique quantique dans la plupart des
manuels. Elle consiste à prendre comme base de H les “vecteurs propres
2
” | r
de l’opérateur position
R : en d’autres termes, on choisit une base où l’opérateur position est diagonal. En mécanique ondulatoire, un vecteur d’état peut
être identifié à un élément ϕ( r ) de l’espace de Hilbert L
2
r (R
3 ) des fonctions
de carré sommable sur l’espace à trois dimensions R
3
. Ce vecteur d’état est
appelé fonction d’onde, et nous verrons que cette fonction d’onde s’identifie à
l’amplitude de probabilité r |ϕ de trouver la particule dans l’état |ϕ localisée à la position r. Cette fonction d’onde est normalisée par la condition de
sommabilité (6.10)
∞
−∞
d
3 r |ϕ( r)|
2 =1
(8.1)
Étant donné le rôle symétrique joué par les opérateurs position et impulsion,
on pourrait aussi bien utiliser les vecteurs propres de
P et les “fonctions d’onde
de l’espace des impulsions” ˜
ϕ( p)= p |ϕ, dont nous verrons que ce sont les
transformées de Fourier des ϕ( r). Après avoir examiné les principales propriétés des fonctions d’onde, nous étudierons plusieurs applications : états liés,
diffusion, potentiel périodique. Ces applications seront d’abord traitées dans
le cas plus simple à une dimension. La généralisation à trois dimensions nous
permettra de discuter la notion importante de densité d’états et son utilisation
dans la “règle d’or de Fermi”.
1. Ou de plusieurs particules : voir la généralisation au chapitre 14.
2. Ainsi que nous l’avons vu au § 6.3.1, ces objets ne sont pas des vecteurs de l’espace
de Hilbert, ce que nous avons souligné par des guillemets. Cependant, comme nous allons
faire par la suite un usage intensif de ces “vecteurs”, nous supprimerons ces guillemets afin
d’alléger l’écriture.
Mécanique ondulatoire
Dans ce chapitre, nous allons étudier une réalisation particulière de la mécanique quantique d’une grande importance pratique : il s’agit de la mécanique
ondulatoire, qui est adaptée à la description du mouvement d’une particule
quantique
1
dans l’espace à trois dimensions R
3
. C’est cette réalisation qui sert
d’introduction aux fondements de la mécanique quantique dans la plupart des
manuels. Elle consiste à prendre comme base de H les “vecteurs propres
2
” | r
de l’opérateur position
R : en d’autres termes, on choisit une base où l’opérateur position est diagonal. En mécanique ondulatoire, un vecteur d’état peut
être identifié à un élément ϕ( r ) de l’espace de Hilbert L
2
r (R
3 ) des fonctions
de carré sommable sur l’espace à trois dimensions R
3
. Ce vecteur d’état est
appelé fonction d’onde, et nous verrons que cette fonction d’onde s’identifie à
l’amplitude de probabilité r |ϕ de trouver la particule dans l’état |ϕ localisée à la position r. Cette fonction d’onde est normalisée par la condition de
sommabilité (6.10)
∞
−∞
d
3 r |ϕ( r)|
2 =1
(8.1)
Étant donné le rôle symétrique joué par les opérateurs position et impulsion,
on pourrait aussi bien utiliser les vecteurs propres de
P et les “fonctions d’onde
de l’espace des impulsions” ˜
ϕ( p)= p |ϕ, dont nous verrons que ce sont les
transformées de Fourier des ϕ( r). Après avoir examiné les principales propriétés des fonctions d’onde, nous étudierons plusieurs applications : états liés,
diffusion, potentiel périodique. Ces applications seront d’abord traitées dans
le cas plus simple à une dimension. La généralisation à trois dimensions nous
permettra de discuter la notion importante de densité d’états et son utilisation
dans la “règle d’or de Fermi”.
1. Ou de plusieurs particules : voir la généralisation au chapitre 14.
2. Ainsi que nous l’avons vu au § 6.3.1, ces objets ne sont pas des vecteurs de l’espace
de Hilbert, ce que nous avons souligné par des guillemets. Cependant, comme nous allons
faire par la suite un usage intensif de ces “vecteurs”, nous supprimerons ces guillemets afin
d’alléger l’écriture.