7. Symétries en physique quantique
239
7.5.5 Règle de somme de Thomas-Reiche-Kuhn
Soit une particule de masse m dans un potentiel V ( r). Le hamiltonien est
H =
P
2
2m
+ V (
R)
Soit |ϕ n un ensemble complet de vecteurs propres de H
H|ϕ n = E n |ϕ n
n
|ϕ n ϕ n | = I
et |ϕ 0 un état lié, donc normalisable, d’énergie E 0 .O np o s e
ϕ n |X|ϕ 0 = X n0
1. Démontrer la relation de commutation
[[H, X],X]=−
2
m
2. En déduire
n
2m|X n0 |
2
2
(E n − E 0 )=1
7.5.6 Centre de masse et masse réduite
Soit deux particules de masses m 1 et m 2 se déplaçant sur une droite. On
note X 1 et X 2 leurs opérateurs position, P 1 et P 2 leurs opérateurs impulsion.
Les opérateurs impulsion et position de deux particules différentes commutent.
On définit les opérateurs X et P
X =
m 1 X 1 + m 2 X 2
m 1 + m 2
P = P 1 + P 2
et ˜
X et ˜
P
˜
X = X 1 − X 2
˜
P =
m 2 P 1 − m 1 P 2
m 1 + m 2
1. Calculer les commutateurs [X, P ] et [ ˜
X, ˜
P ] et montrer que
[X, ˜
P ]=[ ˜
X,P]=0
2. Écrire le hamiltonien
H =
P
2
1
2m 1
+
P
2
2
2m 2
+ V (X 1 − X 2 )
en fonction des opérateurs X, P, ˜
X, ˜
P . En conclure que, comme en mécanique
classique, on peut séparer le mouvement du centre de masse et de la particule relative de masse réduite µ = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 ). Généraliser à trois
dimensions.