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Physique quantique : Fondements
7.5.4 Algèbre de Lie d’un groupe continu
On considère un groupe G dont les élements g sont paramétrés par N
coordonnées θ a ,a=1 , ..., N, g(θ a =0 )étant l’élément neutre du groupe.
Les variables θ a sont notées collectivement θ : θ = {θ a }. La loi de composition
est donnée par une fonction f indéfiniment différentiable
g(θ)g(θ)=g(f (θ, θ))
À nouveau, f est une notation collective pour l’ensemble de N fonctions f :
f (θ, θ)={f a (θ b ,θ c )}. Soit un ensemble de matrices unitaires U (θ a ) dont la
loi de multiplication est
U (θ)U (θ)=U (f (θ, θ))
Les matrice U (θ) forment donc une représentation du groupe G : voir (7.12).
1. Montrer que f a (θ, θ =0 )=θ a et que f a (θ =0 ,θ)=θ a . Montrer que,
pour θ, θ → 0, f a (θ, θ) est de la forme
f a (θ, θ)=θ a + θ a + f abc θ b θ c + O(θ
3 ,θ
2 θ, θ θ
2 , θ
3 )
où nous avons utilisé la convention de sommation sur les indices répétés
f abc θ b θ c =
b,c
f abc θ b θ c
2. Dans le voisinage de U (θ)=I, on écrit un développement de U (θ) pour
θ → 0
U (θ)=I − iθ a T a −
1
2
θ b θ c T bc + O(θ)
3
Effectuer le produit U (θ)U (θ) à l’ordre (θ
2 ,θ
2 ) et montrer que l’égalité
U (θ)U (θ)=U (f (θ, θ))
p o u rl e st e r m e se nθ a θ b implique que
T bc = T c T b − if abc T a
Utilisant la symétrie de T bc , en déduire
[T b ,T c ]=iC abc T a
avec C abc = −C acb .E x p r i m e rC abc en fonction de f abc . Les relations de commutation précédentes constituent l’algèbre de Lie du groupe défini par la loi
de composition f (θ, θ).