7. Symétries en physique quantique
237
3. On pose θ =(
i θ
2
i )
1/2
et θ i = θ ˆ
n i ,o ùˆ n est un vecteur unitaire.
Supposant maintenant les θ i finis, on définit U ˆ
n (θ) par
U ˆ
n (θ) = lim
N →∞
U ˆ
n
θ
N
N
Montrer que
U ˆ
n (θ)=e
−iθ σ·ˆ n/2
Inversement, toute matrice de SU(2) est de cette forme (exercice 3.3.6).
4. Soit
V un vecteur de R
3
et V la matrice hermitienne de trace nulle
V =
V z
V x − iV y
V x + iV y
−V z
= σ ·
V
Quel est le déterminant de V ?S o i tW la matrice
W = U VU
−1
Montrer que W est de la forme σ·
W et que
W se déduit de
V par une rotation.
A-t-on entièrement prouvé cette propriété à ce stade ?
5. On définit
V (θ) par
σ ·
V (θ)=U ˆ
n (θ)[ σ ·
V ] U
−1
ˆ
n (θ)
V (θ =0)=
V
Montrer que
d
V (θ)
dθ
=ˆ n ×
V (θ)
En déduire que
V (θ) s’obtient à partir de
V par une rotation d’angle θ autour
de ˆ
n. Ce résultat établit une correspondance entre les matrices R ˆ
n (θ) de SO(3)
et les matrices U ˆ
n (θ) de SU(2). Cette correspondance est-elle biunivoque ?
7.5.3 Relations de commutation entre l’impulsion
et le moment angulaire
Cet exercice donne une autre démonstration des relations de commutation
(7.34) entre l’impulsion et le moment angulaire, si l’on choisit l’opérateur
vectoriel
V =
P .S o i tT y (a), une translation de a parallèle à Oy
T y (a) r = r + aˆ y
Si R x (θ) est une rotation d’angle θ autour de Ox,m o n t r e rq u e
R x (θ) T y (a) R x (−θ)
est une translation le long d’un axe que l’on déterminera. En déduire la relation de commutation
[J x ,P y ]=iP z
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3. On pose θ =(
i θ
2
i )
1/2
et θ i = θ ˆ
n i ,o ùˆ n est un vecteur unitaire.
Supposant maintenant les θ i finis, on définit U ˆ
n (θ) par
U ˆ
n (θ) = lim
N →∞
U ˆ
n
θ
N
N
Montrer que
U ˆ
n (θ)=e
−iθ σ·ˆ n/2
Inversement, toute matrice de SU(2) est de cette forme (exercice 3.3.6).
4. Soit
V un vecteur de R
3
et V la matrice hermitienne de trace nulle
V =
V z
V x − iV y
V x + iV y
−V z
= σ ·
V
Quel est le déterminant de V ?S o i tW la matrice
W = U VU
−1
Montrer que W est de la forme σ·
W et que
W se déduit de
V par une rotation.
A-t-on entièrement prouvé cette propriété à ce stade ?
5. On définit
V (θ) par
σ ·
V (θ)=U ˆ
n (θ)[ σ ·
V ] U
−1
ˆ
n (θ)
V (θ =0)=
V
Montrer que
d
V (θ)
dθ
=ˆ n ×
V (θ)
En déduire que
V (θ) s’obtient à partir de
V par une rotation d’angle θ autour
de ˆ
n. Ce résultat établit une correspondance entre les matrices R ˆ
n (θ) de SO(3)
et les matrices U ˆ
n (θ) de SU(2). Cette correspondance est-elle biunivoque ?
7.5.3 Relations de commutation entre l’impulsion
et le moment angulaire
Cet exercice donne une autre démonstration des relations de commutation
(7.34) entre l’impulsion et le moment angulaire, si l’on choisit l’opérateur
vectoriel
V =
P .S o i tT y (a), une translation de a parallèle à Oy
T y (a) r = r + aˆ y
Si R x (θ) est une rotation d’angle θ autour de Ox,m o n t r e rq u e
R x (θ) T y (a) R x (−θ)
est une translation le long d’un axe que l’on déterminera. En déduire la relation de commutation
[J x ,P y ]=iP z