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Physique quantique : Fondements
facteur est en pratique différent de 2, mais il est très voisin de 2 pour un
électron.
Résumons le résultat essentiel obtenu dans ce chapitre. En supposant que
les valeurs moyennes des propriétés physiques se transforment dans une symétrie comme les quantités classiques associées, nous avons pu déduire les relations de commutation canoniques et la forme du hamiltonien. Nous n’avons
jamais fait appel au principe de correspondance, mais vérifié la compatibilité
de ce principe avec nos résultats.
7.5 Exercices
7.5.1 Rotations
1. Soit R ˆ
n (θ) la matrice 3 × 3 représentant une rotation d’angle θ autour
de ˆ
n.M o n t r e rq u eTr R ˆ
n (θ)=1+2cosθ. Suggestion : utiliser (7.29).
2. Écrire explicitement la matrice R ˆ
n (θ) à partir de (7.23) en fonction des
composantes de ˆ
n
ˆ
n =(α, β, γ)
α
2 + β
2 + γ
2 =1
3. Vérifier explicitement la relation de commutation [T x ,T y ]=iT z en
utilisant les formes matricielles (7.26).
4. Vérifier que
(
T · ˆ
n)
3 =
T · ˆ
n
et en déduire
e
−iθ(
T ·ˆ n) = I − i sin θ(
T · ˆ
n) − (1 − cos θ)(
T · ˆ
n)
2
Comparer avec (7.23).
7.5.2 Rotations et SU(2)
Le groupe SU(2) est le groupe des matrices 2 × 2 unitaires et de déterminant un.
1. Montrer que si U ∈ SU(2),a l o r sU est de la forme
U =
ab
−b
∗ a
∗
|a|
2 + |b|
2 =1
2. Montrer qu’au voisinage de l’identité, on peut écrire
U = I − iτ avec τ = τ
†
et que τ s’exprime en fonction des matrices de Pauli
τ =
1
2
3
i=1
θ i σ i
θ i → 0