7. Symétries en physique quantique
235
On peut maintenant faire le lien avec la physique classique. En mécanique
classique, le hamiltonien d’une particule de charge q dans un champ magnétique
B( r, t)=
∇×
A( r, t) et dans un champ électrique
E( r, t)=
−∂ t
A( r, t) −
∇V ( r, t) (qui peuvent dépendre du temps) est
18
H cl =
1
2m
p − q
A( r, t)
2
+ qV ( r, t)
(7.74)
On obtient donc (7.73) en utilisant le principe de correspondance et en identifiant q
A =
f et qV = V . La signification de ce hamiltonien sera examinée
de façon plus approfondie au § 10.3.1, quand nous discuterons l’invariance de
jauge locale ; la transformation (7.65) et sa généralisation à trois dimensions
sont des tranformations de jauge locales. Si f (
R) peut être éliminé par une
telle transformation, cela implique que
B =0 . Cependant, il ne faudrait pas
en conclure que
f et V doivent nécessairement être identifiés à des potentiels
vecteur et scalaire, car
f etV sont des fonctions arbitraires, qui n’ont aucune
raison d’obéir aux équations de Maxwell, et la particule n’est pas obligatoirement chargée. Tout ce que nous avons montré est que le hamiltonien classique
(7.74) peut être quantifié de façon compatible avec l’invariance de Galilée.
Pour conclure ce chapitre, montrons comment on peut trouver le facteur gyromagnétique pour une particule de spin 1/2 galiléenne (LévyLeblond [1967]). Dans l’exercice 8.6.14, on construit explicitement la fonction
d’onde transformée dans une transformation de Galilée pour une particule de
spin zéro. Le hamiltonien suivant d’une particule libre de spin 1/2
H =
1
2m
( σ ·
P )
2 =
1
2m
P
2
(7.75)
agissant dans l’espace de Hilbert produit tensoriel L
(2) (R
3 ) ⊗H 2 ,o ùH 2 est
l’espace des états de spin, possède manifestement les mêmes propriétés de
covariance par transformation de Galilée que celui d’une particule de spin
zéro. Le couplage à un champ magnétique
P →
P − q
A donne, en utilisant
(3.50),
H =
1
2m
σ · (
P − q
A)
2
=
1
2m
(
P − q
A)
2 −
q
2m
( σ ·
B)
(7.76)
avec
B =
∇×
A ;onnoteraque
P et
A ne commutent pas. Le deuxième terme
de (7.76) correspond au couplage d’un moment magnétique µ au champ
B,
avec
µ =
q
2m
σ =
q
m
S = γ
q
2m
S
(7.77)
où
S = σ/2 est le spin et γ un facteur égal à 2. Les corrections de théorie
quantique des champs invariante de Lorentz, et non de Galilée, font que ce
18. cf. Jackson[2001], chapitre 12 et exercice 7.5.8.
235
On peut maintenant faire le lien avec la physique classique. En mécanique
classique, le hamiltonien d’une particule de charge q dans un champ magnétique
B( r, t)=
∇×
A( r, t) et dans un champ électrique
E( r, t)=
−∂ t
A( r, t) −
∇V ( r, t) (qui peuvent dépendre du temps) est
18
H cl =
1
2m
p − q
A( r, t)
2
+ qV ( r, t)
(7.74)
On obtient donc (7.73) en utilisant le principe de correspondance et en identifiant q
A =
f et qV = V . La signification de ce hamiltonien sera examinée
de façon plus approfondie au § 10.3.1, quand nous discuterons l’invariance de
jauge locale ; la transformation (7.65) et sa généralisation à trois dimensions
sont des tranformations de jauge locales. Si f (
R) peut être éliminé par une
telle transformation, cela implique que
B =0 . Cependant, il ne faudrait pas
en conclure que
f et V doivent nécessairement être identifiés à des potentiels
vecteur et scalaire, car
f etV sont des fonctions arbitraires, qui n’ont aucune
raison d’obéir aux équations de Maxwell, et la particule n’est pas obligatoirement chargée. Tout ce que nous avons montré est que le hamiltonien classique
(7.74) peut être quantifié de façon compatible avec l’invariance de Galilée.
Pour conclure ce chapitre, montrons comment on peut trouver le facteur gyromagnétique pour une particule de spin 1/2 galiléenne (LévyLeblond [1967]). Dans l’exercice 8.6.14, on construit explicitement la fonction
d’onde transformée dans une transformation de Galilée pour une particule de
spin zéro. Le hamiltonien suivant d’une particule libre de spin 1/2
H =
1
2m
( σ ·
P )
2 =
1
2m
P
2
(7.75)
agissant dans l’espace de Hilbert produit tensoriel L
(2) (R
3 ) ⊗H 2 ,o ùH 2 est
l’espace des états de spin, possède manifestement les mêmes propriétés de
covariance par transformation de Galilée que celui d’une particule de spin
zéro. Le couplage à un champ magnétique
P →
P − q
A donne, en utilisant
(3.50),
H =
1
2m
σ · (
P − q
A)
2
=
1
2m
(
P − q
A)
2 −
q
2m
( σ ·
B)
(7.76)
avec
B =
∇×
A ;onnoteraque
P et
A ne commutent pas. Le deuxième terme
de (7.76) correspond au couplage d’un moment magnétique µ au champ
B,
avec
µ =
q
2m
σ =
q
m
S = γ
q
2m
S
(7.77)
où
S = σ/2 est le spin et γ un facteur égal à 2. Les corrections de théorie
quantique des champs invariante de Lorentz, et non de Galilée, font que ce
18. cf. Jackson[2001], chapitre 12 et exercice 7.5.8.