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Physique quantique : Fondements
7.4.2 Hamiltonien en dimension d =3
En répétant l’argument de la sous-section précédente dans le cas de trois
dimensions d’espace, on arrive sans difficulté à la généralisation de (7.64)
d
R
dt
=
1
m
P −
1
m
f (
R)
(7.70)
mais on ne peut pas, en général, éliminer f (
R). En effet, il faudrait trouver
une transformation unitaire
S =exp
i
F (
R)
telle que
f (
R)=
∇F (
R)
ce qui n’est possible que si
∇×
f =0
17 . L’équation (7.70) implique la relation
de commutation
[ ˙
X i ,X j ]=−
i
m
δ ij
(7.71)
L’énergie cinétique K est définie par
K =
1
2
m
d
R
dt
2
=
1
2m
(
P −
f (
R))
2
(7.72)
On calcule aisément le commutateur de K et de X i .E ne ff e t ,
[K, X i ]=
1
2
m
j
[ ˙
X
2
j ,X i ]=
1
2
m
j
( ˙
X j [ ˙
X j ,X i ]+[ ˙
X j ,X i ] ˙
X j )=−i ˙
X i
En comparant les commutateurs
[K, X i ]=−i ˙
X i et [H, X i ]=−i ˙
X i
on déduit
[H − K, X i ]=0
(H − K) est une fonction de
R uniquement : H = K + V (
R). Le hamiltonien
le plus général compatible avec l’invariance galiléenne est donc de la forme
H =
1
2m
P −
f (
R)
2
+ V (
R)
(7.73)
Il est important de souligner la différence entre
P/m et d
R/dt : c’est cette
dernière quantité qui donne l’énergie cinétique K
K =
1
2m
d
R
dt
2
=
P
2
2m
17. Cette condition est nécessaire mais non suffisante dans un domaine qui n’est pas
simplement connexe.