7. Symétries en physique quantique
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lois de transformation galiléennes. Définissons l’opérateur K, qui sera bien sûr
la version quantique de l’énergie cinétique, par
K =
1
2
m ˙
X
2 =
P
2
2m
(7.66)
et calculons son commutateur avec X
[K, X]=
1
2m
[P
2 ,X]=−
i
2m
∂P
2
∂P
= −i
P
m
(7.67)
En effet, (7.41) implique, en échangeant les rôles de P et de X
[X, f(P )] = i
∂f(P )
∂P
Mais
1
m
P = ˙
X =
i
[H, X]
et en retranchant cette équation de (7.67), on obtient
[H − K, X]=0
L’opérateur (H − K) est une fonction de X uniquement, que nous désignerons
par V (X), ce qui donne la forme la plus générale du hamiltonien compatible
avec l’invariance galiléenne
H = K + V (X)=
P
2
2m
+ V (X)
(7.68)
On justifie ainsi ce que l’on aurait obtenu par le principe de correspondance
à partir de l’analogue classique de l’énergie, somme de l’énergie cinétique et
de l’énergie potentielle
E =
p
2
2m
+ V (x)
L’invariance galiléenne est assurée par le fait que le hamiltonien garde la même
forme après transformation. Si le hamiltonien initial est une fonction de X et
P , le hamiltonien transformé est la même fonction de X v = X et P v = P +mv.
• État initial :
H =
P
2
2m
+ V (X)
• État transformé :
H v =
P
2
v
2m
+ V (X v )=H + Pv +
1
2
mv
2 + V (X)
(7.69)