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Physique quantique : Fondements
I le s td o n cp o s s i b l ed ec h o i s i rG = −mX. D’après le théorème de von
Neumann, tout autre choix serait unitairement équivalent.
Considérons maintenant l’opérateur ˙
X décrivant la vitesse, qui, suivant
(7.18) pour A = X,e s tdéfini par
˙
X =
i
[H, X]
(7.61)
D’après (7.58),
exp
i
vG
˙
X exp
− i
vG
= ˙
X + vI
(7.62)
et en retranchant (7.60) (divisé par m) de (7.62)
exp
i
vG
˙
X −
1
m
P
exp
− i
vG
= ˙
X −
1
m
P
(7.63)
ce qui implique que l’opérateur [ ˙
X − P/m] commute avec G,e td o n ca v e c
X. Toujours d’après le théorème de von Neumann, [ ˙
X − P/m] doit être une
fonction de X
˙
X − P/m =
1
m
f (X)
(7.64)
Dans le cas à une dimension, et en général seulement dans ce cas, on peut
éliminer la fonction f par une transformation unitaire. En effet, soit F (x) une
primitive de f (x), F
′ (x)=f (x) ; considérons la transformation unitaire, qui
est une transformation de jauge locale (cf. le § 10.3.1)
S =exp
i
F (X)
(7.65)
Dans la transformation unitaire X
′ = S
−1 XS, X reste évidemment inchangé :
X
′ = X.C a l c u l o n sP
′ . En utilisant (7.41),
[P, S]=−i
∂S
∂X
=(−i)
i
f (X)S = f (X)S
d’où l’on déduit
S
−1 PS − P = S
−1 (PS − SP)=S
−1 [P, S]=S
−1 f (X)S = f (X)
d’où P
′ = S
−1 PS = P + f (X) et d’après (7.64)
˙
X =
1
m
P
′
On peut donc toujours choisir comme opérateur impulsion P = m ˙
X :cec hoix
est unitairement équivalent à tous les autres. Nous allons utiliser ces résultats
pour déterminer la forme la plus générale du hamiltonien compatible avec les
Physique quantique : Fondements
I le s td o n cp o s s i b l ed ec h o i s i rG = −mX. D’après le théorème de von
Neumann, tout autre choix serait unitairement équivalent.
Considérons maintenant l’opérateur ˙
X décrivant la vitesse, qui, suivant
(7.18) pour A = X,e s tdéfini par
˙
X =
i
[H, X]
(7.61)
D’après (7.58),
exp
i
vG
˙
X exp
− i
vG
= ˙
X + vI
(7.62)
et en retranchant (7.60) (divisé par m) de (7.62)
exp
i
vG
˙
X −
1
m
P
exp
− i
vG
= ˙
X −
1
m
P
(7.63)
ce qui implique que l’opérateur [ ˙
X − P/m] commute avec G,e td o n ca v e c
X. Toujours d’après le théorème de von Neumann, [ ˙
X − P/m] doit être une
fonction de X
˙
X − P/m =
1
m
f (X)
(7.64)
Dans le cas à une dimension, et en général seulement dans ce cas, on peut
éliminer la fonction f par une transformation unitaire. En effet, soit F (x) une
primitive de f (x), F
′ (x)=f (x) ; considérons la transformation unitaire, qui
est une transformation de jauge locale (cf. le § 10.3.1)
S =exp
i
F (X)
(7.65)
Dans la transformation unitaire X
′ = S
−1 XS, X reste évidemment inchangé :
X
′ = X.C a l c u l o n sP
′ . En utilisant (7.41),
[P, S]=−i
∂S
∂X
=(−i)
i
f (X)S = f (X)S
d’où l’on déduit
S
−1 PS − P = S
−1 (PS − SP)=S
−1 [P, S]=S
−1 f (X)S = f (X)
d’où P
′ = S
−1 PS = P + f (X) et d’après (7.64)
˙
X =
1
m
P
′
On peut donc toujours choisir comme opérateur impulsion P = m ˙
X :cec hoix
est unitairement équivalent à tous les autres. Nous allons utiliser ces résultats
pour déterminer la forme la plus générale du hamiltonien compatible avec les