7. Symétries en physique quantique
231
l’impulsion p et l’énergie cinétique K initiales d’une particule classique de
masse m sont
x, ˙
x, p = m ˙
x, K =
1
2
m ˙
x
2
ces mêmes variables deviendront après le “boost” v
x
′ = x + vt,
˙
x
′ =˙ x + v,
p
′ = m ˙
x
′ ,K
′ =
1
2
m(˙ x
′ )
2
(7.54)
Contrairement au cas des translations et des rotations, l’énergie n’est pas
invariante dans une transformation de Galilée. On doit seulement exiger que
la forme des équations de la physique reste invariante, ce que l’on appelle aussi
la covariance de ces équations par rapport à cette transformation.
Venons-en maintenant au cas quantique, en nous plaçant au temps t =
0, ce qui correspond à une transformation de Galilée instantanée. La loi de
transformation des vecteurs d’état dans une transformation de Galilée sera
une transformation unitaire U (v)
U (v)=exp
− i
vG
(7.55)
où G = G
†
est le générateur infinitésimal des transformations de Galilée.
Les transformations de Galilée à une dimension forment un groupe additif,
puisque la composition de deux transformations de vitesses v et v
′
est une
transformation de vitesse v
′′ = v + v
′
. Une fois de plus, le théorème de Stone
nous garantit l’existence d’un générateur infinitésimal hermitien G.SiA est
la valeur moyenne d’une propriété physique dans l’état |ϕ, sa valeur moyenne
A v dans l’état transformé |ϕ v = U (v)|ϕ sera
ϕ v |A|ϕ v = A v = ϕ|U
−1 (v)AU (v)|ϕ
(7.56)
Nous nous attendons d’après (7.54) (pour t =0) à ce que les valeurs moyennes
des opérateurs position X, impulsion P et vitesse ˙
X se transforment selon
X→→ X v = ϕ|U
−1 (v)XU(v)|ϕ = X
(7.57)
˙
X→→ ˙
X v = ϕ|U
−1 (v) ˙
XU(v)|ϕ = ˙
X + v
(7.58)
P →→ P v = ϕ|U
−1 (v)PU(v)|ϕ = P + mv
(7.59)
L’hypothèse forte
16
, même si elle semble naturelle, est en fait (7.58), car ˙
X
est défini comme (i/)[H, X] (cf. (7.18)), et (7.58) conduit à restreindre les
hamiltoniens possibles. Comme (7.59) est valable quel que soit |ϕ, on déduit
exp
i
vG
P exp
− i
vG
= P + mvI
(7.60)
et en faisant tendre v vers zéro
[G, P ]=−imI
16. Voir Brown et Holland [1999] pour une évaluation critique de cette hypothèse.
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l’impulsion p et l’énergie cinétique K initiales d’une particule classique de
masse m sont
x, ˙
x, p = m ˙
x, K =
1
2
m ˙
x
2
ces mêmes variables deviendront après le “boost” v
x
′ = x + vt,
˙
x
′ =˙ x + v,
p
′ = m ˙
x
′ ,K
′ =
1
2
m(˙ x
′ )
2
(7.54)
Contrairement au cas des translations et des rotations, l’énergie n’est pas
invariante dans une transformation de Galilée. On doit seulement exiger que
la forme des équations de la physique reste invariante, ce que l’on appelle aussi
la covariance de ces équations par rapport à cette transformation.
Venons-en maintenant au cas quantique, en nous plaçant au temps t =
0, ce qui correspond à une transformation de Galilée instantanée. La loi de
transformation des vecteurs d’état dans une transformation de Galilée sera
une transformation unitaire U (v)
U (v)=exp
− i
vG
(7.55)
où G = G
†
est le générateur infinitésimal des transformations de Galilée.
Les transformations de Galilée à une dimension forment un groupe additif,
puisque la composition de deux transformations de vitesses v et v
′
est une
transformation de vitesse v
′′ = v + v
′
. Une fois de plus, le théorème de Stone
nous garantit l’existence d’un générateur infinitésimal hermitien G.SiA est
la valeur moyenne d’une propriété physique dans l’état |ϕ, sa valeur moyenne
A v dans l’état transformé |ϕ v = U (v)|ϕ sera
ϕ v |A|ϕ v = A v = ϕ|U
−1 (v)AU (v)|ϕ
(7.56)
Nous nous attendons d’après (7.54) (pour t =0) à ce que les valeurs moyennes
des opérateurs position X, impulsion P et vitesse ˙
X se transforment selon
X→→ X v = ϕ|U
−1 (v)XU(v)|ϕ = X
(7.57)
˙
X→→ ˙
X v = ϕ|U
−1 (v) ˙
XU(v)|ϕ = ˙
X + v
(7.58)
P →→ P v = ϕ|U
−1 (v)PU(v)|ϕ = P + mv
(7.59)
L’hypothèse forte
16
, même si elle semble naturelle, est en fait (7.58), car ˙
X
est défini comme (i/)[H, X] (cf. (7.18)), et (7.58) conduit à restreindre les
hamiltoniens possibles. Comme (7.59) est valable quel que soit |ϕ, on déduit
exp
i
vG
P exp
− i
vG
= P + mvI
(7.60)
et en faisant tendre v vers zéro
[G, P ]=−imI
16. Voir Brown et Holland [1999] pour une évaluation critique de cette hypothèse.