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Physique quantique : Fondements
Mais, on a également
(Πχ, Π[X i ,P j ]ϕ)=( Π χ, Π iδ ij ϕ)
= iδ ij (Πχ, Πϕ)
(7.51)
si l’on suppose que Π est unitaire. En effet, pour un opérateur unitaire
(Uχ,Uiϕ)=(χ, iϕ)=i(χ, ϕ)
tandis que pour un opérateur antiunitaire
(Uχ,Uiϕ)=(iϕ, χ)=−i(ϕ, χ)
Les équations (7.50) et (7.51) sont compatibles uniquement si Π est unitaire.
En revanche, si au lieu de la parité Π on considère le renversement du sens
du temps Θ :
R →
R et
P →−
P (cf. annexe A.2), alors
Θ[X i ,P j ]Θ
−1 = −[X i ,P j ]=−iδ ij
et ce changement de signe entraîne que Θ est antiunitaire.
Si la parité est une symétrie, ce qui dans l’état actuel de nos connaissances
est le cas pour les interactions fortes et les interactions électromagnétiques,
alors Π doit commuter avec le hamiltonien : [Π,H]=0 . Comme Π
2 = I,
puisque deux opérations parité successives ramènent le système d’axes à sa
position initiale, les valeurs propres de Π sont ±1. Comme Π et H commutent,
on peut trouver un système de vecteurs propres communs |ϕ ± à H et à Π
H|ϕ ± = E ± |ϕ ±
Π|ϕ ± = ±|ϕ ±
(7.52)
Les états |ϕ + sont dits de parité paire et les états |ϕ − de parité impaire.
7.4 Invariance galiléenne
7.4.1 Hamiltonien en dimension d =1
Nous allons maintenant examiner les conséquences de la dernière invariance que nous n’avons pas encore exploitée, l’invariance par changement de
référentiel d’inertie. Nous nous limitons d’abord à une dimension, une particule sur l’axe des x. Les équations de la physique non relativiste doivent
garder la même forme dans la transformation de Galilée
x
′ = x − vt
(7.53)
qui fait passer d’un référentiel d’inertie à un autre référentiel d’inertie se
déplaçant à la vitesse v par rapport au premier. La loi de transformation
(7.53) correspond au point de vue passif du changement d’axes. Afin de garder
la cohérence avec les sections précédentes, nous allons choisir le point de vue
actif, qui consiste à modifier la vitesse de toutes les particules de v ;e nb o n
français
15 , on “booste” toutes les particules de v. Si la position, la vitesse,
15. Il n’existe pas de bonne traduction de ce terme dont l’origine est le “booster” d’une
fusée, voir aussi la section 19.1.
Physique quantique : Fondements
Mais, on a également
(Πχ, Π[X i ,P j ]ϕ)=( Π χ, Π iδ ij ϕ)
= iδ ij (Πχ, Πϕ)
(7.51)
si l’on suppose que Π est unitaire. En effet, pour un opérateur unitaire
(Uχ,Uiϕ)=(χ, iϕ)=i(χ, ϕ)
tandis que pour un opérateur antiunitaire
(Uχ,Uiϕ)=(iϕ, χ)=−i(ϕ, χ)
Les équations (7.50) et (7.51) sont compatibles uniquement si Π est unitaire.
En revanche, si au lieu de la parité Π on considère le renversement du sens
du temps Θ :
R →
R et
P →−
P (cf. annexe A.2), alors
Θ[X i ,P j ]Θ
−1 = −[X i ,P j ]=−iδ ij
et ce changement de signe entraîne que Θ est antiunitaire.
Si la parité est une symétrie, ce qui dans l’état actuel de nos connaissances
est le cas pour les interactions fortes et les interactions électromagnétiques,
alors Π doit commuter avec le hamiltonien : [Π,H]=0 . Comme Π
2 = I,
puisque deux opérations parité successives ramènent le système d’axes à sa
position initiale, les valeurs propres de Π sont ±1. Comme Π et H commutent,
on peut trouver un système de vecteurs propres communs |ϕ ± à H et à Π
H|ϕ ± = E ± |ϕ ±
Π|ϕ ± = ±|ϕ ±
(7.52)
Les états |ϕ + sont dits de parité paire et les états |ϕ − de parité impaire.
7.4 Invariance galiléenne
7.4.1 Hamiltonien en dimension d =1
Nous allons maintenant examiner les conséquences de la dernière invariance que nous n’avons pas encore exploitée, l’invariance par changement de
référentiel d’inertie. Nous nous limitons d’abord à une dimension, une particule sur l’axe des x. Les équations de la physique non relativiste doivent
garder la même forme dans la transformation de Galilée
x
′ = x − vt
(7.53)
qui fait passer d’un référentiel d’inertie à un autre référentiel d’inertie se
déplaçant à la vitesse v par rapport au premier. La loi de transformation
(7.53) correspond au point de vue passif du changement d’axes. Afin de garder
la cohérence avec les sections précédentes, nous allons choisir le point de vue
actif, qui consiste à modifier la vitesse de toutes les particules de v ;e nb o n
français
15 , on “booste” toutes les particules de v. Si la position, la vitesse,
15. Il n’existe pas de bonne traduction de ce terme dont l’origine est le “booster” d’une
fusée, voir aussi la section 19.1.