7. Symétries en physique quantique
227
7.3.2 Réalisation explicite et commentaires
Une réalisation explicite, ou représentation des relations de commutation
canoniques (7.39) peut être donnée dans l’espace L
(2) (R) des fonctions ϕ(x)
différentiables de carré sommable sur la droite dans l’intervalle ] −∞, +∞[.
Cette représentation est
(Xϕ)(x)=xϕ(x)( Pϕ)(x)=−i
∂ϕ
∂x
(7.44)
Dans ces équations, (Xϕ) et (Pϕ) sont des symboles de fonctions, par exemple
(Xϕ)(x)=g(x) et (Pϕ)(x)=h(x). Vérifions (7.44)
([XP − PX]ϕ)(x)=−ix
∂ϕ
∂x
+ i
∂
∂x
(xϕ(x)=iϕ(x)
ou
([X, P ]ϕ)(x)=iϕ(x)
Il est légitime de se poser la question de l’unicité de la représentation (7.44)
des relations de commutation canoniques : l’équation (7.44) est-elle une solution unique de (7.39) ? Évidemment, deux représentations ne doivent pas
être considérées comme distinctes si elles sont reliées par une transformation
unitaire, qui est un simple changement de base orthonormée dans H.S o i tU
un opérateur unitaire. Les opérateurs P
′ et X
′ obtenus par transformation
unitaire
P
′ = U
† PU
X
′ = U
† XU
obéissent aussi aux relations de commutation canoniques
[X
′ ,P
′ ]=U
† XUU
† PU − U
† PUU
† XU = U
† [X, P ]U = iI
La représentation (X
′ ,P
′ ) des relations de commutation canoniques est dite
unitairement équivalente à la représentation (X, P ). La grande importance
de (7.44) vient du théorème suivant, que nous énonçons sans démonstration.
Théorème d’équivalence unitaire de von Neumann. Toutes les représentations
des relations de commutation canoniques sous la forme de Weyl
13 (7.42) sont
unitairement équivalentes à la représentation (7.44) sur L
(2) (R). De plus, cette
représentation est irréductible, c’est-à-dire que tout opérateur sur H peut
s’écrire comme une fonction de X et de P . Tout opérateur commutant avec
X (resp. P ) est une fonction de X (resp. P ). Tout opérateur commutant avec
X et P est multiple de l’identité I.
Ce théorème implique que nous n’avons pas à nous préoccuper du choix
de la représentation de (7.39), puisque deux choix différents seront reliés par
une transformation unitaire.
13. Cette précision est importante : sinon les opérateurs A C du § 6.2.2 permettraient de
construire un contre-exemple au théorème !
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7.3.2 Réalisation explicite et commentaires
Une réalisation explicite, ou représentation des relations de commutation
canoniques (7.39) peut être donnée dans l’espace L
(2) (R) des fonctions ϕ(x)
différentiables de carré sommable sur la droite dans l’intervalle ] −∞, +∞[.
Cette représentation est
(Xϕ)(x)=xϕ(x)( Pϕ)(x)=−i
∂ϕ
∂x
(7.44)
Dans ces équations, (Xϕ) et (Pϕ) sont des symboles de fonctions, par exemple
(Xϕ)(x)=g(x) et (Pϕ)(x)=h(x). Vérifions (7.44)
([XP − PX]ϕ)(x)=−ix
∂ϕ
∂x
+ i
∂
∂x
(xϕ(x)=iϕ(x)
ou
([X, P ]ϕ)(x)=iϕ(x)
Il est légitime de se poser la question de l’unicité de la représentation (7.44)
des relations de commutation canoniques : l’équation (7.44) est-elle une solution unique de (7.39) ? Évidemment, deux représentations ne doivent pas
être considérées comme distinctes si elles sont reliées par une transformation
unitaire, qui est un simple changement de base orthonormée dans H.S o i tU
un opérateur unitaire. Les opérateurs P
′ et X
′ obtenus par transformation
unitaire
P
′ = U
† PU
X
′ = U
† XU
obéissent aussi aux relations de commutation canoniques
[X
′ ,P
′ ]=U
† XUU
† PU − U
† PUU
† XU = U
† [X, P ]U = iI
La représentation (X
′ ,P
′ ) des relations de commutation canoniques est dite
unitairement équivalente à la représentation (X, P ). La grande importance
de (7.44) vient du théorème suivant, que nous énonçons sans démonstration.
Théorème d’équivalence unitaire de von Neumann. Toutes les représentations
des relations de commutation canoniques sous la forme de Weyl
13 (7.42) sont
unitairement équivalentes à la représentation (7.44) sur L
(2) (R). De plus, cette
représentation est irréductible, c’est-à-dire que tout opérateur sur H peut
s’écrire comme une fonction de X et de P . Tout opérateur commutant avec
X (resp. P ) est une fonction de X (resp. P ). Tout opérateur commutant avec
X et P est multiple de l’identité I.
Ce théorème implique que nous n’avons pas à nous préoccuper du choix
de la représentation de (7.39), puisque deux choix différents seront reliés par
une transformation unitaire.
13. Cette précision est importante : sinon les opérateurs A C du § 6.2.2 permettraient de
construire un contre-exemple au théorème !