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Physique quantique : Fondements
où P est l’opérateur impulsion et U (a) l’opérateur de translation
U (a)=exp
− i
Pa
U
−1 (a)=U
† (a)=exp
i
Pa
(7.37)
alors la particule sera après translation localisée dans l’intervalle [x 0 + a −
∆x, x 0 + a +∆x]
X a = ϕ a |X|ϕ a = ϕ|U
−1 (a)XU(a)|ϕ = x 0 + a = X + a
Comme l’état |ϕ est arbitraire, l’égalité des valeurs moyennes entraîne celle
des opérateurs
U
−1 (a)XU(a)=X + aI
(7.38)
et en faisant tendre a vers zéro, nous obtenons la relation de commutation
canonique (RCC) entre X et P
[X, P ]=iI
(7.39)
Comme application, calculons le commutateur entre P et une fonction quelconque f (X). Développons f (X) en série de Taylor
f (X)=c 0 + c 1 X
2 + ...+ c n X
n + ...
D’après (7.38),
U
−1 (a)X
2 U (a)=U
−1 (a)XU(a)U
−1 (a)XU(a)=(X + aI)
2
et ceci se généralise immédiatement à X
n
U
−1 (a)X
n U (a)=(X + aI)
n
Nous obtenons donc
U
−1 (a)f (X)U (a)=f (X + aI)
(7.40)
Selon une technique maintenant éprouvée, nous faisons tendre a vers zéro
[P, f(X)] = −i
∂f(X)
∂X
(7.41)
Comme cas particulier de (7.40), nous pouvons choisir f (X)=e x p ( iβX), β
réel, et nous obtenons les relations de commutation canoniques sous la forme
de Weyl
exp
i
Pa
exp(iβX)exp
− i
Pa
=exp(iβX)exp(iβa)
(7.42)
La forme de Weyl est plus intéressante mathématiquement que (7.39), car
les opérateurs unitaires qui interviennent dans (7.42) sont bornés (§ 6.2.1),
contrairement aux opérateurs X et P .
On déduit immédiatement de (7.39) l’inégalité de Heisenberg sur les dispersions en position et impulsion ; en effet, d’après (4.10)
∆x ∆p =
(X − x) 2
(P − p) 2 ≥
1
2
(7.43)