7. Symétries en physique quantique
225
quantique comme on a parfois tendance à l’affirmer
12 : la véritable rotation
identité pour un objet en relation avec son environnement n’est pas la rotation
de 2π mais la rotation de 4π !
7.3 Relations de commutation canoniques
7.3.1 Cas de la dimension d =1
Plaçons-nous d’abord à une dimension, sur l’axe des x,e ts o i tX l’opérateur position. Considérons une particule dans un état |ϕ où cette particule
est localisée au voisinage d’une position moyenne x 0 , avec une dispersion ∆x
(x ) 2
x 0
x 0 + x
x 0 −
x
x
0 + ax
∆
∆
Fig. 7.5 – Particules localisées au voisinage de x = x0 et x = x0 + a.
ϕ|X|ϕ = X = x 0
ϕ|(X − x 0 )
2 |ϕ =(∆x)
2
(7.36)
Elle est, par exemple, localisée dans l’intervalle [x 0 − ∆x, x 0 +∆x] (figure 7.5).
Si nous appliquons à cet état une translation a
|ϕ→|ϕ a =exp
− i
Pa
|ϕ = U (a)|ϕ
12. Un mot sur les conditions où les représentations projectives sont nécessaires. Deux cas
peuvent se présenter. (i) Comme pour la correspondance entre SU(2) et SO(3), la nécessité
d’une représentation projective vient de propriétés topologiques globales. Le facteur de
phase dans (7.11) prend alors des valeurs discrètes, comme dans (7.13). (ii) Si
[T i ,T j ]=i
k
C ijk T k
est l’algèbre de Lie du groupe (dont (7.28) pour SO(3) est un exemple, voir aussi l’exercice 7.5.4), il se peut que l’on puisse construire une autre algèbre de Lie dont le second
membre diffère par un multiple de l’identité :
[T
′
i ,T
′
j ]=i
k
C ijk T
′
k + iD ij ID ij = −D ji
C’est ce que l’on appelle une extension centrale de l’algèbre de Lie initiale. Si le terme D ij I
peut être éliminé par une redéfinition des générateurs infinitésimaux T ′
i , alors il n’existe que
des représentations vectorielles (avec éventuellement des facteurs de phase discrets dus aux
propriétés topologiques globales comme dans (i)). Dans le cas contraire, par exemple celui
du groupe de Galilée (exercice 7.5.7), il existe des représentations projectives où le facteur
de phase varie de façon continue : cf. par exemple Weinberg [1995], chapitre 2.
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quantique comme on a parfois tendance à l’affirmer
12 : la véritable rotation
identité pour un objet en relation avec son environnement n’est pas la rotation
de 2π mais la rotation de 4π !
7.3 Relations de commutation canoniques
7.3.1 Cas de la dimension d =1
Plaçons-nous d’abord à une dimension, sur l’axe des x,e ts o i tX l’opérateur position. Considérons une particule dans un état |ϕ où cette particule
est localisée au voisinage d’une position moyenne x 0 , avec une dispersion ∆x
(x ) 2
x 0
x 0 + x
x 0 −
x
x
0 + ax
∆
∆
Fig. 7.5 – Particules localisées au voisinage de x = x0 et x = x0 + a.
ϕ|X|ϕ = X = x 0
ϕ|(X − x 0 )
2 |ϕ =(∆x)
2
(7.36)
Elle est, par exemple, localisée dans l’intervalle [x 0 − ∆x, x 0 +∆x] (figure 7.5).
Si nous appliquons à cet état une translation a
|ϕ→|ϕ a =exp
− i
Pa
|ϕ = U (a)|ϕ
12. Un mot sur les conditions où les représentations projectives sont nécessaires. Deux cas
peuvent se présenter. (i) Comme pour la correspondance entre SU(2) et SO(3), la nécessité
d’une représentation projective vient de propriétés topologiques globales. Le facteur de
phase dans (7.11) prend alors des valeurs discrètes, comme dans (7.13). (ii) Si
[T i ,T j ]=i
k
C ijk T k
est l’algèbre de Lie du groupe (dont (7.28) pour SO(3) est un exemple, voir aussi l’exercice 7.5.4), il se peut que l’on puisse construire une autre algèbre de Lie dont le second
membre diffère par un multiple de l’identité :
[T
′
i ,T
′
j ]=i
k
C ijk T
′
k + iD ij ID ij = −D ji
C’est ce que l’on appelle une extension centrale de l’algèbre de Lie initiale. Si le terme D ij I
peut être éliminé par une redéfinition des générateurs infinitésimaux T ′
i , alors il n’existe que
des représentations vectorielles (avec éventuellement des facteurs de phase discrets dus aux
propriétés topologiques globales comme dans (i)). Dans le cas contraire, par exemple celui
du groupe de Galilée (exercice 7.5.7), il existe des représentations projectives où le facteur
de phase varie de façon continue : cf. par exemple Weinberg [1995], chapitre 2.