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Physique quantique : Fondements
soit i[J x ,V y ]=−V z et en examinant les autres composantes
[J x ,V x ]=0 [J x ,V y ]=iV z
[J x ,V z ]=−iV y
ou sous forme générale
[J i ,V j ]=i
k
ε ijk V k
(7.35)
Ces relations sont valables en particulier pour l’opérateur position
R et l’opérateur impulsion
P , qui sont des opérateurs vectoriels.
Le lecteur attentif aura remarqué que les relations de commutation (3.53)
du spin 1/2,
S =
1
2 σ, sont identiques à (7.31) ou (7.32), et que le spin 1/2
est donc un moment angulaire. Donnons quelques indications permettant de
comprendre cette identification, sans toutefois entrer dans des détails mathématiques qui nous entraîneraient trop loin. L’algèbre de Lie (3.52) des
matrices de Pauli est celle du groupe SU(2) des matrices 2 × 2 unitaires et de
déterminant +1 (exercice 7.5.2). L’algèbre de Lie de SU(2) et celle de SO(3)
sont identiques : les deux groupes coïncident dans le voisinage de l’identité.
Cependant, les deux groupes ne sont pas globalement identiques : on le voit
en considérant une rotation de 2π autour d’un axe ˆ
n. Compte tenu de (3.59),
exp
− i
θ
2
σ · ˆ
n
= −I pour θ =2π
On retrouve l’identité seulement pour θ =4π ! À la rotation identité de SO(3)
correspondent donc deux éléments de SU(2), +I et −I. La correspondance
entre SU(2) et SO(3) est un homomorphisme, qui à deux éléments de SU(2)
fait correspondre un élément de SO(3), et on a donc pour un spin 1/2 une représentation projective (7.13) du groupe des rotations. Cette propriété découle
de ce que le groupe SO(3) est connexe mais non simplement connexe
10
: une
courbe continue fermée dans l’espace des paramètres du groupe ne peut pas
toujours être déformée continûment en un point. Cette propriété est visible
dans les rotations de l’espace ordinaire
11
; elle n’est pas propre à la mécanique
10. Un disque dans le plan est simplement connexe. Perçons un trou dans ce disque : alors
la région du plan ainsi obtenue n’est plus simplement connexe, car une courbe encerclant
le trou ne peut plus être déformée en un point.
11. cf. Lévy-Leblond et Balibar [1984], chapitre 3.D ; l’argument est dû à Dirac.
Physique quantique : Fondements
soit i[J x ,V y ]=−V z et en examinant les autres composantes
[J x ,V x ]=0 [J x ,V y ]=iV z
[J x ,V z ]=−iV y
ou sous forme générale
[J i ,V j ]=i
k
ε ijk V k
(7.35)
Ces relations sont valables en particulier pour l’opérateur position
R et l’opérateur impulsion
P , qui sont des opérateurs vectoriels.
Le lecteur attentif aura remarqué que les relations de commutation (3.53)
du spin 1/2,
S =
1
2 σ, sont identiques à (7.31) ou (7.32), et que le spin 1/2
est donc un moment angulaire. Donnons quelques indications permettant de
comprendre cette identification, sans toutefois entrer dans des détails mathématiques qui nous entraîneraient trop loin. L’algèbre de Lie (3.52) des
matrices de Pauli est celle du groupe SU(2) des matrices 2 × 2 unitaires et de
déterminant +1 (exercice 7.5.2). L’algèbre de Lie de SU(2) et celle de SO(3)
sont identiques : les deux groupes coïncident dans le voisinage de l’identité.
Cependant, les deux groupes ne sont pas globalement identiques : on le voit
en considérant une rotation de 2π autour d’un axe ˆ
n. Compte tenu de (3.59),
exp
− i
θ
2
σ · ˆ
n
= −I pour θ =2π
On retrouve l’identité seulement pour θ =4π ! À la rotation identité de SO(3)
correspondent donc deux éléments de SU(2), +I et −I. La correspondance
entre SU(2) et SO(3) est un homomorphisme, qui à deux éléments de SU(2)
fait correspondre un élément de SO(3), et on a donc pour un spin 1/2 une représentation projective (7.13) du groupe des rotations. Cette propriété découle
de ce que le groupe SO(3) est connexe mais non simplement connexe
10
: une
courbe continue fermée dans l’espace des paramètres du groupe ne peut pas
toujours être déformée continûment en un point. Cette propriété est visible
dans les rotations de l’espace ordinaire
11
; elle n’est pas propre à la mécanique
10. Un disque dans le plan est simplement connexe. Perçons un trou dans ce disque : alors
la région du plan ainsi obtenue n’est plus simplement connexe, car une courbe encerclant
le trou ne peut plus être déformée en un point.
11. cf. Lévy-Leblond et Balibar [1984], chapitre 3.D ; l’argument est dû à Dirac.