7. Symétries en physique quantique
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Les relations de commutation des J i sont donc, au facteur près, identiques
à celles des T i . Les générateurs infinitésimaux des rotations dans H ont des
relations de commutation identiques à celles des générateurs infinitésimaux
du groupe des rotations dans l’espace ordinaire. Notre démonstration des relations (7.31) ou (7.32) souligne leur origine géométrique.
Les relations de commutation des opérateurs scalaires et vectoriels avec
J sont d’une grande importance pratique. Un opérateur scalaire S est un
opérateur dont la valeur moyenne est invariante dans une rotation. Si U (R)
est l’opérateur qui effectue la rotation R dans l’espace des états
|ϕ R = U (R)|ϕ
nous devons avoir
ϕ R |S|ϕ R = ϕ|U
† (R)SU (R)|ϕ = ϕ|S|ϕ
et par conséquent pour une rotation R ˆ
n (θ)
exp
i θ
J · ˆ
n
S exp
− iθ
J · ˆ
n
= S
Prenant θ infinitésimal, nous constatons que S commute avec
J
[
J,S]=0
(7.33)
Un opérateur scalaire commute avec le moment angulaire.
Un raisonnement analogue permet d’établir les relations de commutation
de
J avec
R ou
P , et plus généralement avec tous les opérateurs vectoriels.P ar
définition, un opérateur vectoriel
V est un opérateur dont la valeur moyenne
se transforme par rotation suivant la loi (7.24). Nous devons donc avoir
ϕ R |V i |ϕ R = ϕ|U
† (R)V i U (R)|ϕ =
3
j=1
R ij ϕ|V j |ϕ
et par conséquent pour une rotation R ˆ
n (θ)
exp
iθ
J · ˆ
n
V i exp
− iθ
J · ˆ
n
=
3
j=1
[R ˆ
n (θ)] ij V j
(7.34)
Prenons ˆ
n =ˆ x et θ infinitésimal ; d’après (7.25),
V
′ a pour composantes
(V x ,V y − θV z ,V z + θV y )
et nous avons donc, par exemple pour la composante i = y de (7.34)
I +
i
θJ x
V y
I −
i
θJ x
= V y − θV z