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Physique quantique : Fondements
φ
ˆ
n (φ)
z
x
O
y
θ
Fig. 7.4 – Rotation R ˆ
n(φ) (θ).
En effet, la rotation R x (−φ) amène d’abord l’axe ˆ
n(φ) sur Oy ; on effectue
ensuite la rotation d’angle θ autour de Oy et on revient enfin à la position
initiale de l’axe par la rotation R x (φ).E x p r i m o n sR ˆ
n(φ) (θ) et R y (θ) sous
forme exponentielle (7.22) et développons au premier ordre en θ
T · ˆ
n(φ)=cosφT y +sinφT z = e
−iφTx T y e
iφTx
En développant au premier ordre en φ,o no b t i e n t
[T x ,T y ]=i T z
et les deux autres relations de commutation (7.27) s’en déduisent par permutation circulaire.
Considérons maintenant les opérateurs qui effectuent des rotations sur
les états physiques dans H. Nous avons vu que l’opérateur qui effectue une
rotation d’angle θ autour d’un axe ˆ
n est
U ˆ
n (θ)=exp
− iθ
J · ˆ
n
(7.30)
où
J · ˆ
n est le moment angulaire suivant ˆ
n. Comme ces opérateurs forment
une représentation du groupe des rotations, on déduit de (7.12) et de (7.29)
U ˆ
n(φ) (θ)=U x (φ)U y (θ)U x (−φ)
En développant comme précédemment les exponentielles au premier ordre en
θ puis en φ on obtient les relations de commutation du moment angulaire
[J x ,J y ]=iJ z [J y ,J z ]=iJ x [J z ,J x ]=iJ y
(7.31)
ou
[J i ,J j ]=i
k
ε ijk J k
(7.32)