7. Symétries en physique quantique
221
θ
z
x
y
O
ˆ n
V
V
Fig. 7.3 – Rotation de θ d’un vecteur
V autour d’un axe ˆ
n.
et par identification les opérateurs hermitiens T x , T y et T z
T x =
⎛
⎝
00 0
00−i
0 i 0
⎞
⎠
T y =
⎛
⎝
00i
000
−i 00
⎞
⎠
T z =
⎛
⎝
0 −i 0
i 00
000
⎞
⎠
(7.26)
Lorsque θ est fini, on peut aisément calculer l’exponentielle dans (7.22) en
remarquant que (
T · ˆ
n)
3 =
T · ˆ
n (exercice 7.5.1) et vérifier que l’on retrouve
bien (7.23). Un calcul direct (exercice 7.5.1) permet de montrer les relations
de commutation
9
suivantes, qui constituent l’algèbre de Lie de SO(3)
[T x ,T y ]=i T z [T y ,T z ]=i T x [T z ,T x ]=i T y
(7.27)
ou en reprenant les notations de (3.52)
[T i ,T j ]=i
k
ε ijk T k
(7.28)
Nous allons donner une démonstration plus rapide et surtout plus instructive
de (7.27) en utilisant l’expression suivante pour une rotation d’angle θ autour
d’un axe ˆ
n(φ) du plan yOz, obtenu à partir de l’axe Oy par une rotation
d’angle φ autour de Ox (figure 7.4)
R ˆ
n(φ) (θ)=R x (φ)R y (θ)R x (−φ)
(7.29)
9. Il suffit, bien sûr, de montrer la première relation, les deux autres s’en déduisant par
permutation circulaire.