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Physique quantique : Fondements
alors |ϕ(t) est vecteur propre de A avec la même valeur propre
A|ϕ(t) = AU (t − t 0 )|ϕ(t 0 ) = U (t − t 0 )A|ϕ(t 0 ) = a|ϕ(t)
La valeur propre a est conservée : c’est une constante du mouvement.
On aurait pu déduire ce résultat directement de (7.19), puisque dans ce
cas A = a.
7.2.3 Relations de commutation des générateurs
infinitésimaux
On peut déterminer la plupart des propriétés d’un groupe de Lie en examinant le voisinage de l’identité, plus précisément en étudiant les relations de
commutation de ses générateurs infinitésimaux : l’ensemble de ces relations
de commutation constitue l’algèbre de Lie du groupe (exercice 7.5.4). Cependant, deux groupes de Lie isomorphes dans le voisinage de l’identité peuvent
différer par des propriétés topologiques globales : nous en verrons bientôt un
exemple. Examinons plus en détail le cas du groupe des rotations
8 .L ’ o p é -
rateur de rotation R ˆ
n (θ) d’un angle θ autour d’un axe ˆ
n est un opérateur
orthogonal de l’espace à trois dimensions : R
T R = RR
T = I. Les rotations
R ˆ
n (θ) forment un sous groupe abélien du groupe des rotations, et toujours
d’après le théorème de Stone, on peut écrire
R ˆ
n (θ)=exp
− iθ(
T · ˆ
n)
(7.22)
où
T · ˆ
n est un opérateur hermitien : R étant orthogonal et réel, est aussi
unitaire. Dans une telle rotation, un vecteur
V se transforme en
V
′ (figure 7.3)
V
′ =(1− cos θ)(ˆ n ·
V )ˆ n +cosθ
V +sinθ(ˆ n ×
V )
(7.23)
On peut écrire cette loi de tranformation sous forme matricielle
V
′
i =
3
j=1
[R ˆ
n (θ)] ij V j
(7.24)
La détermination explicite de la matrice [R ˆ
n (θ)] ij est proposée dans l’exercice 7.5.1. Nous n’aurons pas à nous en servir, car nous allons prendre la limite
θ → 0, c’est-à-dire la limite des rotations infinitésimales
V
′ =
V + θ(ˆ n ×
V )+O(θ)
2
(7.25)
Le développement de l’exponentielle dans (7.22) et la comparaison avec (7.25)
donnent
(
T · ˆ
n)
V = i
⎛
⎝
0
−n z n y
n z
0
−n x
−n y n x
0
⎞
⎠
⎛
⎝
V x
V y
V z
⎞
⎠
8. Sauf mention explicite du contraire, il s’agira toujours du groupe SO(3) des rotations
dans l’espace euclidien à trois dimensions.
Physique quantique : Fondements
alors |ϕ(t) est vecteur propre de A avec la même valeur propre
A|ϕ(t) = AU (t − t 0 )|ϕ(t 0 ) = U (t − t 0 )A|ϕ(t 0 ) = a|ϕ(t)
La valeur propre a est conservée : c’est une constante du mouvement.
On aurait pu déduire ce résultat directement de (7.19), puisque dans ce
cas A = a.
7.2.3 Relations de commutation des générateurs
infinitésimaux
On peut déterminer la plupart des propriétés d’un groupe de Lie en examinant le voisinage de l’identité, plus précisément en étudiant les relations de
commutation de ses générateurs infinitésimaux : l’ensemble de ces relations
de commutation constitue l’algèbre de Lie du groupe (exercice 7.5.4). Cependant, deux groupes de Lie isomorphes dans le voisinage de l’identité peuvent
différer par des propriétés topologiques globales : nous en verrons bientôt un
exemple. Examinons plus en détail le cas du groupe des rotations
8 .L ’ o p é -
rateur de rotation R ˆ
n (θ) d’un angle θ autour d’un axe ˆ
n est un opérateur
orthogonal de l’espace à trois dimensions : R
T R = RR
T = I. Les rotations
R ˆ
n (θ) forment un sous groupe abélien du groupe des rotations, et toujours
d’après le théorème de Stone, on peut écrire
R ˆ
n (θ)=exp
− iθ(
T · ˆ
n)
(7.22)
où
T · ˆ
n est un opérateur hermitien : R étant orthogonal et réel, est aussi
unitaire. Dans une telle rotation, un vecteur
V se transforme en
V
′ (figure 7.3)
V
′ =(1− cos θ)(ˆ n ·
V )ˆ n +cosθ
V +sinθ(ˆ n ×
V )
(7.23)
On peut écrire cette loi de tranformation sous forme matricielle
V
′
i =
3
j=1
[R ˆ
n (θ)] ij V j
(7.24)
La détermination explicite de la matrice [R ˆ
n (θ)] ij est proposée dans l’exercice 7.5.1. Nous n’aurons pas à nous en servir, car nous allons prendre la limite
θ → 0, c’est-à-dire la limite des rotations infinitésimales
V
′ =
V + θ(ˆ n ×
V )+O(θ)
2
(7.25)
Le développement de l’exponentielle dans (7.22) et la comparaison avec (7.25)
donnent
(
T · ˆ
n)
V = i
⎛
⎝
0
−n z n y
n z
0
−n x
−n y n x
0
⎞
⎠
⎛
⎝
V x
V y
V z
⎞
⎠
8. Sauf mention explicite du contraire, il s’agira toujours du groupe SO(3) des rotations
dans l’espace euclidien à trois dimensions.