7. Symétries en physique quantique
219
Lorsque l’opérateur A est indépendant du temps, (∂A/∂t)=0et l’on retrouve
(4.26)
d
dt
A ϕ (t)=
i
[H, A] ϕ
(7.18)
Comme cette égalité est valable quel que soit |ϕ, nous obtenons le théorème
suivant (nous supposons H indépendant du temps).
Théorème de conservation de la valeur moyenne. Lorsque la propriété physique
A est indépendante du temps, la condition dA/dt =0implique [H, A]=0
et réciproquement.
Si
∂A
∂t
=0,
d
dt
A ϕ =0⇐⇒ [H, A]=0
(7.19)
Comme application, supposons que les propriétés d’un système physique
soient invariantes par toute translation d’espace. Ce sera le cas, par exemple,
pour un système isolé de deux particules dont l’énergie potentielle dépend uniquement de la différence de leurs positions ( r 1 − r 2 ). La valeur moyenne du hamiltonien doit être la même dans l’état |ϕ et l’état |ϕ a =exp[−i(
P · a)/]|ϕ
obtenu par translation de a,o ù a est un vecteur arbitraire
ϕ a |H|ϕ a = ϕ| exp
i
P · a
H exp
− i
P · a
|ϕ = ϕ|H|ϕ
Faisant tendre a vers zéro, on en déduit
Invariance par translation d
′ espace ⇐⇒ [H,
P ]=0
(7.20)
La notation [H,
P ]=0indique que les trois composantes de l’impulsion commutent avec H. D’après (7.18), cette équation implique que la valeur moyenne
P de
P est indépendante du temps : l’invariance par translation entraîne la
conservation de l’impulsion (en valeur moyenne). Un raisonnement identique
montre que
Invariance par rotation ⇐⇒ [H,
J]=0
(7.21)
La valeur moyenne
J de
J est indépendante du temps : l’invariance par
rotation entraîne la conservation du moment angulaire (en valeur moyenne).
Il est également utile de faire les deux remarques suivantes.
• Si [H, A]=0 , A et H peuvent être diagonalisés simultanément, et en
particulier, on peut choisir les états stationnaires parmi les vecteurs
propres de A.
• La condition [H, A]=0implique que A commute avec l’opérateur d’évolution U (t − t 0 ) (4.20). Si |ϕ(t 0 ) est vecteur propre de A au temps t 0
A|ϕ(t 0 ) = a|ϕ(t 0 )
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Lorsque l’opérateur A est indépendant du temps, (∂A/∂t)=0et l’on retrouve
(4.26)
d
dt
A ϕ (t)=
i
[H, A] ϕ
(7.18)
Comme cette égalité est valable quel que soit |ϕ, nous obtenons le théorème
suivant (nous supposons H indépendant du temps).
Théorème de conservation de la valeur moyenne. Lorsque la propriété physique
A est indépendante du temps, la condition dA/dt =0implique [H, A]=0
et réciproquement.
Si
∂A
∂t
=0,
d
dt
A ϕ =0⇐⇒ [H, A]=0
(7.19)
Comme application, supposons que les propriétés d’un système physique
soient invariantes par toute translation d’espace. Ce sera le cas, par exemple,
pour un système isolé de deux particules dont l’énergie potentielle dépend uniquement de la différence de leurs positions ( r 1 − r 2 ). La valeur moyenne du hamiltonien doit être la même dans l’état |ϕ et l’état |ϕ a =exp[−i(
P · a)/]|ϕ
obtenu par translation de a,o ù a est un vecteur arbitraire
ϕ a |H|ϕ a = ϕ| exp
i
P · a
H exp
− i
P · a
|ϕ = ϕ|H|ϕ
Faisant tendre a vers zéro, on en déduit
Invariance par translation d
′ espace ⇐⇒ [H,
P ]=0
(7.20)
La notation [H,
P ]=0indique que les trois composantes de l’impulsion commutent avec H. D’après (7.18), cette équation implique que la valeur moyenne
P de
P est indépendante du temps : l’invariance par translation entraîne la
conservation de l’impulsion (en valeur moyenne). Un raisonnement identique
montre que
Invariance par rotation ⇐⇒ [H,
J]=0
(7.21)
La valeur moyenne
J de
J est indépendante du temps : l’invariance par
rotation entraîne la conservation du moment angulaire (en valeur moyenne).
Il est également utile de faire les deux remarques suivantes.
• Si [H, A]=0 , A et H peuvent être diagonalisés simultanément, et en
particulier, on peut choisir les états stationnaires parmi les vecteurs
propres de A.
• La condition [H, A]=0implique que A commute avec l’opérateur d’évolution U (t − t 0 ) (4.20). Si |ϕ(t 0 ) est vecteur propre de A au temps t 0
A|ϕ(t 0 ) = a|ϕ(t 0 )