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Physique quantique : Fondements
D’après (7.12), on doit avoir pour les opérateurs U h (α) qui transforment les
vecteurs d’état de H
U h (α 1 + α 2 )=U h (α 2 )U h (α 1 )
(7.15)
Le théorème de Stone (§ 6.3.2) implique qu’il existe alors un opérateur hermitien T h = T
†
h tel que
U h (α)=e
−iαT h
(7.16)
L’opérateur T h est appelé générateur infinitésimal de la transformation considérée. Comme T h est hermitien, c’est un bon candidat pour une propriété
physique, et de fait, à toutes les transformations dont la liste figure dans
l’introduction de ce chapitre correspondent des propriétés physiques fondamentales. En effet, on établit la correspondance suivante entre générateurs
infinitésimaux et propriétés physiques pour ces diverses transformations, que
nous allons revoir en détail dans la suite de ce chapitre.
• Translations de temps de t : U (t)=exp(−itH/): T h = H = hamiltonien : voir le chapitre 4.
• Translations d’espace de a = aˆ a : U ( a)=e x p ( −ia(
P · ˆ
a)/):T h =
P · ˆ
a = composante suivant ˆ
a de l’impulsion
P .
• Rotations autour d’un axe ˆ
n : U ˆ
n (θ)=exp(−iθ(
J · ˆ
n)/): T h =
J · ˆ
n =
composante suivant ˆ
n du moment angulaire
J.
• Transformation de Galilée de vitesse v : U ( v)=exp(−i( v ·
G)/):
G =
−m
R,
R = position, m étant la masse.
Dans chaque cas, la présence de dans l’exponentielle assure que l’exposant est une quantité sans dimensions. Si l’on choisit précisément ,e tn o n
que multiplie une constante numérique, alors les expressions précédentes définissent les opérateurs représentant les propriétés physiques énergie, impulsion,
moment angulaire et position. En fait, ces expressions donnent la définition
la plus générale de ces opérateurs.
7.2.2 Lois de conservation
Nous allons montrer qu’aux lois de conservation de la physique classique,
en présence d’une symétrie, correspondent en physique quantique des lois de
conservation pour les valeurs moyennes de grandeurs physiques. Généralisons
d’abord (4.26) au cas où l’opérateur A dépend explicitement du temps. Au
membre de droite de (4.26), on doit ajouter
ϕ(t)
∂A
∂t
ϕ(t) =
∂A
∂t
ϕ
et cette équation donne la forme générale du théorème d’Ehrenfest
d
dt
A ϕ (t)=
i
[H, A] ϕ +
∂A
∂t
ϕ
(7.17)
Physique quantique : Fondements
D’après (7.12), on doit avoir pour les opérateurs U h (α) qui transforment les
vecteurs d’état de H
U h (α 1 + α 2 )=U h (α 2 )U h (α 1 )
(7.15)
Le théorème de Stone (§ 6.3.2) implique qu’il existe alors un opérateur hermitien T h = T
†
h tel que
U h (α)=e
−iαT h
(7.16)
L’opérateur T h est appelé générateur infinitésimal de la transformation considérée. Comme T h est hermitien, c’est un bon candidat pour une propriété
physique, et de fait, à toutes les transformations dont la liste figure dans
l’introduction de ce chapitre correspondent des propriétés physiques fondamentales. En effet, on établit la correspondance suivante entre générateurs
infinitésimaux et propriétés physiques pour ces diverses transformations, que
nous allons revoir en détail dans la suite de ce chapitre.
• Translations de temps de t : U (t)=exp(−itH/): T h = H = hamiltonien : voir le chapitre 4.
• Translations d’espace de a = aˆ a : U ( a)=e x p ( −ia(
P · ˆ
a)/):T h =
P · ˆ
a = composante suivant ˆ
a de l’impulsion
P .
• Rotations autour d’un axe ˆ
n : U ˆ
n (θ)=exp(−iθ(
J · ˆ
n)/): T h =
J · ˆ
n =
composante suivant ˆ
n du moment angulaire
J.
• Transformation de Galilée de vitesse v : U ( v)=exp(−i( v ·
G)/):
G =
−m
R,
R = position, m étant la masse.
Dans chaque cas, la présence de dans l’exponentielle assure que l’exposant est une quantité sans dimensions. Si l’on choisit précisément ,e tn o n
que multiplie une constante numérique, alors les expressions précédentes définissent les opérateurs représentant les propriétés physiques énergie, impulsion,
moment angulaire et position. En fait, ces expressions donnent la définition
la plus générale de ces opérateurs.
7.2.2 Lois de conservation
Nous allons montrer qu’aux lois de conservation de la physique classique,
en présence d’une symétrie, correspondent en physique quantique des lois de
conservation pour les valeurs moyennes de grandeurs physiques. Généralisons
d’abord (4.26) au cas où l’opérateur A dépend explicitement du temps. Au
membre de droite de (4.26), on doit ajouter
ϕ(t)
∂A
∂t
ϕ(t) =
∂A
∂t
ϕ
et cette équation donne la forme générale du théorème d’Ehrenfest
d
dt
A ϕ (t)=
i
[H, A] ϕ +
∂A
∂t
ϕ
(7.17)