7. Symétries en physique quantique
217
7.2 Générateurs infinitésimaux
7.2.1 Définitions
On distingue deux types de groupes de transformations.
• Les groupes discrets, dont le nombre d’éléments est fini ou dénombrable.
Comme cas particuliers simples, on peut citer la parité, ou opération
qui change le signe des coordonnés r →− r (cf. § 7.3.3), ou les groupes
cristallographiques qui jouent un rôle important en physique du solide.
• Les groupes continus, dont les éléments sont paramétrés par un ou plusieurs paramètres variant de façon continue
6
. Par exemple, la rotation
R z (θ) autour de Oz est paramétrée par l’angle θ qui varie de façon
continue entre 0 et 2π.
Les groupes continus intéressants en physique sont les groupes de Lie (exercice 7.5.4), dont un exemple est le groupe des rotations dans un espace à
trois dimensions, ou groupe SO(3), le groupe des matrices orthogonales :
R
T R = RR
T = I de déterminant +1 dans l’espace à trois dimensions
7
; A
T
désigne l’opérateur transposé de A. Ce groupe va jouer un rôle majeur dans
la suite. C’est un groupe à trois paramètres : on peut, par exemple, paramétrer une rotation par deux angles donnant la direction ˆ
n de l’axe de rotation
dans un référentiel Oxyz et l’angle de rotation, donc en tout trois angles qui
varient de façon continue. Le groupe des rotations possède une infinité de
sous-groupes abéliens, les rotations autour d’un axe fixe. Nous allons montrer
qu’il suffit de considérer trois sous-groupes abéliens correspondant aux rotations autour de Ox, Oy et Oz : le nombre de ces sous-groupes est égal au
nombre de paramètres indépendants. Les rotations de ces sous-groupes sont
paramétrées par un angle θ, et selon (7.7), ce paramètre est un paramètre
additif : le produit de deux rotations d’angles θ 1 et θ 2 est la rotation d’angle
θ = θ 1 + θ 2 . De façon générale, si un groupe de Lie G est paramétré par n
paramètres indépendants, on dira que la dimension du groupe est n,e to n
pourra se ramener à l’étude de n sous-groupes abéliens (exercice 7.5.4). Soit
un sous groupe abélien de G, dont les éléments h sont paramétrés à l’aide d’un
paramètre additif α
h(α 1 + α 2 )=h(α 2 )h(α 1 )
(7.14)
6. On peut remarquer que, dans le cas d’un groupe continu, les transformations U (g)
doivent nécessairement être unitaires par continuité, si tout élément du groupe peut être
relié de façon continue à l’élément neutre e du groupe (en d’autres termes si le groupe est
connexe) : en effet U (e)=I est unitaire.
7. La relation R T R = I implique que det R = ±1. Dans la notation SO(3), S indique que
l’on doit choisir det R =+1, O qu’il s’agit du groupe orthogonal et 3 désigne la dimension de
l’espace. Si l’on ajoute aux rotations l’opération d’inversion des axes, ou parité, on obtient le
groupe O(3), qui inclut aussi les matrices de déterminant −1.LegroupeSO(3) est connexe,
mais non O(3) : on ne peut pas passer de façon continue de det R =+ 1à det R = −1.
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7.2 Générateurs infinitésimaux
7.2.1 Définitions
On distingue deux types de groupes de transformations.
• Les groupes discrets, dont le nombre d’éléments est fini ou dénombrable.
Comme cas particuliers simples, on peut citer la parité, ou opération
qui change le signe des coordonnés r →− r (cf. § 7.3.3), ou les groupes
cristallographiques qui jouent un rôle important en physique du solide.
• Les groupes continus, dont les éléments sont paramétrés par un ou plusieurs paramètres variant de façon continue
6
. Par exemple, la rotation
R z (θ) autour de Oz est paramétrée par l’angle θ qui varie de façon
continue entre 0 et 2π.
Les groupes continus intéressants en physique sont les groupes de Lie (exercice 7.5.4), dont un exemple est le groupe des rotations dans un espace à
trois dimensions, ou groupe SO(3), le groupe des matrices orthogonales :
R
T R = RR
T = I de déterminant +1 dans l’espace à trois dimensions
7
; A
T
désigne l’opérateur transposé de A. Ce groupe va jouer un rôle majeur dans
la suite. C’est un groupe à trois paramètres : on peut, par exemple, paramétrer une rotation par deux angles donnant la direction ˆ
n de l’axe de rotation
dans un référentiel Oxyz et l’angle de rotation, donc en tout trois angles qui
varient de façon continue. Le groupe des rotations possède une infinité de
sous-groupes abéliens, les rotations autour d’un axe fixe. Nous allons montrer
qu’il suffit de considérer trois sous-groupes abéliens correspondant aux rotations autour de Ox, Oy et Oz : le nombre de ces sous-groupes est égal au
nombre de paramètres indépendants. Les rotations de ces sous-groupes sont
paramétrées par un angle θ, et selon (7.7), ce paramètre est un paramètre
additif : le produit de deux rotations d’angles θ 1 et θ 2 est la rotation d’angle
θ = θ 1 + θ 2 . De façon générale, si un groupe de Lie G est paramétré par n
paramètres indépendants, on dira que la dimension du groupe est n,e to n
pourra se ramener à l’étude de n sous-groupes abéliens (exercice 7.5.4). Soit
un sous groupe abélien de G, dont les éléments h sont paramétrés à l’aide d’un
paramètre additif α
h(α 1 + α 2 )=h(α 2 )h(α 1 )
(7.14)
6. On peut remarquer que, dans le cas d’un groupe continu, les transformations U (g)
doivent nécessairement être unitaires par continuité, si tout élément du groupe peut être
relié de façon continue à l’élément neutre e du groupe (en d’autres termes si le groupe est
connexe) : en effet U (e)=I est unitaire.
7. La relation R T R = I implique que det R = ±1. Dans la notation SO(3), S indique que
l’on doit choisir det R =+1, O qu’il s’agit du groupe orthogonal et 3 désigne la dimension de
l’espace. Si l’on ajoute aux rotations l’opération d’inversion des axes, ou parité, on obtient le
groupe O(3), qui inclut aussi les matrices de déterminant −1.LegroupeSO(3) est connexe,
mais non O(3) : on ne peut pas passer de façon continue de det R =+ 1à det R = −1.