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Physique quantique : Fondements
L’état physique obtenu en effectuant une rotation d’angle θ = θ 2 + θ 1 doit être
identique à celui obtenu en effectuant d’abord une rotation d’angle θ 1 suivie
d’une rotation d’angle θ 2 .
Utilisons maintenant le théorème de Wigner pour faire un choix de phases
sur les vecteurs tel que la correspondance entre |ϕ et |ϕ g soit donnée par
(7.5). Nous avons, d’une part,
|ϕ g = U (g)|ϕ
(7.8)
et, d’autre part,
|ϕ g2g1 = U (g 2 )|ϕ g1 = U (g 2 )U (g 1 )|ϕ
(7.9)
Les vecteurs |ϕ g et |ϕ g2g1 représentent des états physiques identiques, et ils
doivent être égaux à un facteur de phase près
|ϕ g = e
iα(g2,g1) |ϕ g2g1
(7.10)
Le facteur de phase dans (7.10) pourrait a priori dépendre de |ϕ,m a i se n
fait, il dépend uniquement de g 1 et de g 2 . En effet, si nous écrivons
|ϕ g = e
iα |ϕ g2g1 | χ g = e
iβ |χ g2g1
nous pouvons examiner le produit scalaire χ|ϕ
χ|ϕ = χ g |ϕ g = e
i(α−β) χ g2g1 |ϕ g2g1
= e
i(α−β) U (g 2 )U (g 1 )χ|U (g 2 )U (g 1 )ϕ
= e
i(α−β) χ|ϕ
ce qui implique α = β. Comme le vecteur |ϕ est arbitraire, (7.10) entraîne
une relation correspondante pour les opérateurs U (g)
U (g)=e
iα(g2,g1) U (g 2 )U (g 1 )
(7.11)
Cette équation traduit une propriété mathématique : on dit que les opérateurs
U (g) forment une représentation projective du groupe G. Dans la suite du livre,
nous aurons uniquement à considérer deux versions simples de (7.11), l’une
où le facteur de phase est +1, et dans ce cas, on a affaire à une représentation
vectorielle de G
U (g)=U (g 2 )U (g 1 )
(7.12)
et l’autre où le facteur de phase vaut ±1
U (g)=± U (g 2 )U (g 1 )
(7.13)
Nous verrons apparaître ce facteur ± dans le cas où G e s tl eg r o u p ed e s
rotations ; les représentations (7.13) de ce groupe sont appelées représentations
spinorielles du groupe des rotations.