7. Symétries en physique quantique
215
sur l’appareil de mesure pour ˜
χ : ˜
χ → ˜
χ g alors les probabilités doivent être
inchangées si la physique est invariante dans cette opération
|(˜ χ g , ˜
ϕ g )|
2 = |(˜ χ, ˜
ϕ)|
2
(7.4)
7.1.2 Théorème de Wigner
La propriété (7.4) sur les rayons se traduit par une propriété sur les vecteurs grâce à un théorème d’une grande importance dû à Wigner.
Théorème de Wigner. Si l’on traduit mathématiquement la loi de transformation des états physiques par une loi de transformation sur les rayons correspondants : ˜
ϕ → ˜
ϕ g lorsque l’on applique une transformation g àu ns y s t è m e
physique, et si l’on suppose que les probabilités sont invariantes dans cette
transformation
|(˜ χ g , ˜
ϕ g )|
2 = |(˜ χ, ˜
ϕ)|
2
∀ ˜
ϕ, ˜
χ
alors il est possible de choisir un représentant |ϕ g de ˜
ϕ g tel que pour tout
vecteur |ϕ∈H
|ϕ g = U (g)|ϕ
(7.5)
où l’opérateur U (g) est unitaire ou antiunitaire et est unique à un facteur de
phase près.
La loi de transformation des rayons devient donc une loi de transformation des vecteurs, par application d’un opérateur qui ne dépend que de la
transformation g.S iU (g) est unitaire, le théorème de Wigner implique non
seulement l’invariance de la norme du produit scalaire, mais aussi celle de sa
phase, puisque
U (g)χ|U (g)ϕ = χ|ϕ
Les opérateurs antiunitaires transforment le produit scalaire en son complexe
conjugué
U (g)χ|U (g)ϕ = χ|ϕ
∗ = ϕ|χ
(7.6)
La démonstration du théorème de Wigner ne fait intervenir que des notions
élémentaires, mais elle est fastidieuse, et nous la renvoyons à l’appendice A1.
Les opérateurs antiunitaires n’interviennent que lorsque la transformation g
inclut le renversement du sens du temps ; nous en dirons un mot au § 7.3.3,
mais nous en renvoyons l’étude détaillée à l’appendice A. Nous nous limitons
désormais aux transformations unitaires.
Le théorème de Wigner a des conséquences particulièrement intéressantes
si les transformations g forment un groupe G. Le produit g = g 2 g 1 de deux
transformations, de même que la transformation inverse g
−1
,s o n ta l o r sd e s
transformations de G. L’ordre des transformations dans g 2 g 1 est important
car le groupe G n’est pas en général abélien : g 2 g 1 = g 1 g 2 .S ig = g 2 g 1 ,l e s
rayons ˜
ϕ g et ˜
ϕ g2g1 doivent être identiques. Par exemple, si G est le groupe des
rotations autour de Oz,etsiR z (θ) représente la rotation d’angle θ autour de
Oz,o na
R z (θ = θ 2 + θ 1 )=R z (θ 2 )R z (θ 1 )
(7.7)
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sur l’appareil de mesure pour ˜
χ : ˜
χ → ˜
χ g alors les probabilités doivent être
inchangées si la physique est invariante dans cette opération
|(˜ χ g , ˜
ϕ g )|
2 = |(˜ χ, ˜
ϕ)|
2
(7.4)
7.1.2 Théorème de Wigner
La propriété (7.4) sur les rayons se traduit par une propriété sur les vecteurs grâce à un théorème d’une grande importance dû à Wigner.
Théorème de Wigner. Si l’on traduit mathématiquement la loi de transformation des états physiques par une loi de transformation sur les rayons correspondants : ˜
ϕ → ˜
ϕ g lorsque l’on applique une transformation g àu ns y s t è m e
physique, et si l’on suppose que les probabilités sont invariantes dans cette
transformation
|(˜ χ g , ˜
ϕ g )|
2 = |(˜ χ, ˜
ϕ)|
2
∀ ˜
ϕ, ˜
χ
alors il est possible de choisir un représentant |ϕ g de ˜
ϕ g tel que pour tout
vecteur |ϕ∈H
|ϕ g = U (g)|ϕ
(7.5)
où l’opérateur U (g) est unitaire ou antiunitaire et est unique à un facteur de
phase près.
La loi de transformation des rayons devient donc une loi de transformation des vecteurs, par application d’un opérateur qui ne dépend que de la
transformation g.S iU (g) est unitaire, le théorème de Wigner implique non
seulement l’invariance de la norme du produit scalaire, mais aussi celle de sa
phase, puisque
U (g)χ|U (g)ϕ = χ|ϕ
Les opérateurs antiunitaires transforment le produit scalaire en son complexe
conjugué
U (g)χ|U (g)ϕ = χ|ϕ
∗ = ϕ|χ
(7.6)
La démonstration du théorème de Wigner ne fait intervenir que des notions
élémentaires, mais elle est fastidieuse, et nous la renvoyons à l’appendice A1.
Les opérateurs antiunitaires n’interviennent que lorsque la transformation g
inclut le renversement du sens du temps ; nous en dirons un mot au § 7.3.3,
mais nous en renvoyons l’étude détaillée à l’appendice A. Nous nous limitons
désormais aux transformations unitaires.
Le théorème de Wigner a des conséquences particulièrement intéressantes
si les transformations g forment un groupe G. Le produit g = g 2 g 1 de deux
transformations, de même que la transformation inverse g
−1
,s o n ta l o r sd e s
transformations de G. L’ordre des transformations dans g 2 g 1 est important
car le groupe G n’est pas en général abélien : g 2 g 1 = g 1 g 2 .S ig = g 2 g 1 ,l e s
rayons ˜
ϕ g et ˜
ϕ g2g1 doivent être identiques. Par exemple, si G est le groupe des
rotations autour de Oz,etsiR z (θ) représente la rotation d’angle θ autour de
Oz,o na
R z (θ = θ 2 + θ 1 )=R z (θ 2 )R z (θ 1 )
(7.7)