7. Symétries en physique quantique
213
modifie le système d’axes. Il est en général équivalent
4
d’adopter le point de
vue actif, où le système d’axes est inchangé, et où on applique une opération
de symétrie sur le système physique. Nous avions d’ailleurs déjà utilisé cette
équivalence dans la discussion du § 3.2.4. Dans la suite de ce chapitre, nous
allons adopter le point de vue actif, qui est peut-être plus intuitif (au moins
pour l’auteur !) et sera plus commode pour certaines discussions, par exemple
celles de la section 9.5.
Nous avons vu au chapitre 4, postulat I, que l’objet mathématique en
correspondance biunivoque avec un état physique était un rayon unitaire de
l’espace des états H, c’est-à-dire un vecteur unitaire à un facteur de phase
près. Dans cette section uniquement, la distinction entre vecteurs et rayons
sera cruciale ; nous pourrons l’oublier par la suite. On vérifie immédiatement
que la relation entre deux vecteurs de H
|ϕ
′ = e
iθ |ϕ
(7.1)
où θ est un nombre réel, est une relation d’équivalence
5 |ϕ
′ ∼|ϕ. La classe
d’équivalence est un rayon, que nous noterons ˜
ϕ. Le produit scalaire de deux
rayons ˜
ϕ et ˜
χ n’est pas défini, mais le module de ce produit scalaire, que nous
noterons |(˜ χ, ˜
ϕ)| est bien défini : on peut choisir deux représentants arbitraires
|ϕ et |χ dans les classes d’équivalence et écrire
|(˜ χ, ˜
ϕ)| = ||χ|ϕ|
(7.2)
car les facteurs de phase disparaissent lorsque l’on prend le module. Le résultat
est indépendant du choix des représentants dans les classes d’équivalence.
Revenons au spin 1/2 du chapitre 3 : nous avons vu comment préparer un
état de spin orienté suivant Oz que nous représenterons par le rayon ˜
ϕ + ,e n
utilisant un appareil de Stern-Gerlach dont le champ magnétique est orienté
suivant Oz et en sélectionnant les atomes déviés vers le haut (en choisissant un
signe approprié pour le champ). Faisons tourner le champ d’un angle α autour
de la direction de propagation Oy pour l’amener suivant une direction ˆ
n α
faisant un angle α avec Oz, 0 ≤ α<2π. Nous préparons ainsi l’état représenté
par le rayon ˜
ϕ + (ˆ n α ), qui sera par définition l’état transformé de ˜
ϕ + par une
rotation de α autour de Oy (figure 7.1). Avec les notations du chapitre 3, la
classe d’équivalence du vecteur |+ est le rayon ˜
ϕ + , celle du vecteur |+, ˆ
n α ,
le rayon ˜
ϕ + (ˆ n α ). En général, le transformé ˜
ϕ R par une rotation R d’un état
˜
ϕ sera obtenu en effectuant une rotation R sur l’appareil qui prépare ˜
ϕ.
Supposons maintenant qu’à la suite du premier appareil de Stern-Gerlach
dont le champ est parallèle à Oz, le polariseur, on place un second appareil,
l’analyseur, dont le champ est parallèle à la direction ˆ
n β obtenue à partir de
4. Pour certaines transformations comme la réflexion par rapport à un plan, il est plus
simple d’utiliser le point de vue passif, qui consiste à regarder le système dans un miroir,
mais on peut aussi imaginer de construire un appareillage symétrique de l’original par
rapport à un plan.
5. La notation ∼ désigne ici une relation d’équivalence, et non “de l’ordre de”.
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modifie le système d’axes. Il est en général équivalent
4
d’adopter le point de
vue actif, où le système d’axes est inchangé, et où on applique une opération
de symétrie sur le système physique. Nous avions d’ailleurs déjà utilisé cette
équivalence dans la discussion du § 3.2.4. Dans la suite de ce chapitre, nous
allons adopter le point de vue actif, qui est peut-être plus intuitif (au moins
pour l’auteur !) et sera plus commode pour certaines discussions, par exemple
celles de la section 9.5.
Nous avons vu au chapitre 4, postulat I, que l’objet mathématique en
correspondance biunivoque avec un état physique était un rayon unitaire de
l’espace des états H, c’est-à-dire un vecteur unitaire à un facteur de phase
près. Dans cette section uniquement, la distinction entre vecteurs et rayons
sera cruciale ; nous pourrons l’oublier par la suite. On vérifie immédiatement
que la relation entre deux vecteurs de H
|ϕ
′ = e
iθ |ϕ
(7.1)
où θ est un nombre réel, est une relation d’équivalence
5 |ϕ
′ ∼|ϕ. La classe
d’équivalence est un rayon, que nous noterons ˜
ϕ. Le produit scalaire de deux
rayons ˜
ϕ et ˜
χ n’est pas défini, mais le module de ce produit scalaire, que nous
noterons |(˜ χ, ˜
ϕ)| est bien défini : on peut choisir deux représentants arbitraires
|ϕ et |χ dans les classes d’équivalence et écrire
|(˜ χ, ˜
ϕ)| = ||χ|ϕ|
(7.2)
car les facteurs de phase disparaissent lorsque l’on prend le module. Le résultat
est indépendant du choix des représentants dans les classes d’équivalence.
Revenons au spin 1/2 du chapitre 3 : nous avons vu comment préparer un
état de spin orienté suivant Oz que nous représenterons par le rayon ˜
ϕ + ,e n
utilisant un appareil de Stern-Gerlach dont le champ magnétique est orienté
suivant Oz et en sélectionnant les atomes déviés vers le haut (en choisissant un
signe approprié pour le champ). Faisons tourner le champ d’un angle α autour
de la direction de propagation Oy pour l’amener suivant une direction ˆ
n α
faisant un angle α avec Oz, 0 ≤ α<2π. Nous préparons ainsi l’état représenté
par le rayon ˜
ϕ + (ˆ n α ), qui sera par définition l’état transformé de ˜
ϕ + par une
rotation de α autour de Oy (figure 7.1). Avec les notations du chapitre 3, la
classe d’équivalence du vecteur |+ est le rayon ˜
ϕ + , celle du vecteur |+, ˆ
n α ,
le rayon ˜
ϕ + (ˆ n α ). En général, le transformé ˜
ϕ R par une rotation R d’un état
˜
ϕ sera obtenu en effectuant une rotation R sur l’appareil qui prépare ˜
ϕ.
Supposons maintenant qu’à la suite du premier appareil de Stern-Gerlach
dont le champ est parallèle à Oz, le polariseur, on place un second appareil,
l’analyseur, dont le champ est parallèle à la direction ˆ
n β obtenue à partir de
4. Pour certaines transformations comme la réflexion par rapport à un plan, il est plus
simple d’utiliser le point de vue passif, qui consiste à regarder le système dans un miroir,
mais on peut aussi imaginer de construire un appareillage symétrique de l’original par
rapport à un plan.
5. La notation ∼ désigne ici une relation d’équivalence, et non “de l’ordre de”.