6. Mathématiques de la mécanique quantique II : dimension infinie
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6.4 Exercices
6.4.1 Espaces de dimension infinie
1. Montrer que l’espace ℓ
2
est complet.
2. Montrer que la convergence forte implique la convergence faible, mais
non l’inverse, sauf si l’espace est de dimension finie.
6.4.2 Spectre d’un opérateur hermitien
Montrer que si A = A
†
et z = x + iy, le vecteur
|χ =(zI − A)|ϕ
ne peut pas s’annuler si y =0.
6.4.3 Relations de commutation canoniques
1. Soit deux opérateurs hermitiens A et B vérifiant la relation de commutation [B, A]=iI. Montrer que l’un au moins des deux opérateurs est
non borné. On pourra supposer sans restreindre la généralité (pourquoi ?) que
||B|| =1. Suggestion : montrer que
[B, A
n ]=inA
n−1
et en déduire
||A
n || ≥
n
2
||A
n−1 ||
2. On suppose que A possède un vecteur propre normalisable |ϕ
A|ϕ = a|ϕ
a = a
∗
On a, d’une part,
ϕ|(BA − AB)|ϕ = ϕ|B|Aϕ−−Aϕ|B|ϕ
= a(ϕ|B|ϕ−−ϕ|B|ϕ)=0
et, d’autre part,
ϕ|(BA − AB)|ϕ = ϕ|[B, A]|ϕ = i||ϕ||
2
Quelle est la solution de ce pseudo-paradoxe ? Suggestion : examiner le cas où
B = X (multiplication par x)e tA = −id/dx sur L
2 [0, 1] avec les conditions
aux limites ϕ(x =0)=ϕ(x =1).
3. On considère les opérateurs A C définis au § 6.2.2. Trouver les valeurs
propres et les vecteurs propres de A C , et montrer que le spectre de A C est
différent suivant les valeurs de C. Le théorème de von Neumann (chapitre 7)