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Physique quantique : Fondements
6.3.2 Opérateurs unitaires
Un opérateur unitaire est défini par
U
† U = UU
† = I ou U
† = U
−1
(6.38)
Comme dans le cas de la dimension finie, on peut construire des opérateurs
unitaires par exponentiation d’opérateurs hermitiens. Utilisant la décomposition spectrale de A (6.37)
U (α)=exp(iαA)=
n,r
|n, r exp(iαa n )n, r|+
s
dν |ν, s exp[iαa(ν)]ν, s|
(6.39)
Cette équation montre que le spectre de exp(iαA) est localisé sur le cercle
|z| =1, et il est facile de vérifier que cette propriété est vraie de tout opérateur
unitaire. De plus, (6.39) montre que U (α) vérifie la propriété de groupe abélien
U (α 1 + α 2 )=U (α 1 )U (α 2 )
U (0) = I
(6.40)
La réciproque de cette propriété est un théorème important, le théorème de
Stone
8
.
Théorème de Stone. Soit un ensemble d’opérateurs unitaires dépendant d’un
paramètre continu α et vérifiant la loi de groupe abélien (6.40). Il existe
alors un opérateur hermitien T ,a p p e l égénérateur infinitésimal du groupe
de transformations U (α) tel que U (α)=exp(iαT ).
On peut donner une démonstration heuristique de ce théorème, en montrant que U (α) vérifie une équation différentielle. Si δα → 0
U (α + δα)=U (δα)U (α) ≃
I + δα
dU
dα
α=0
U (α)
(6.41)
Si l’on pose
T = −i
dU
dα
α=0
(6.42)
T doit être hermitien car
U (δα)U
† (δα) ≃ (I + i δα T )
I − i δα T
†
≃ I + i δα(T − T
† )=I
d’où T = T
† . On déduit de (6.41)
dU (α)
dα
= iTU(α)
(6.43)
ce qui donne le théorème de Stone par intégration et en tenant compte de la
condition U (0) = I.
8. Aussi appelé théorème SNAG : Stone, Naimark, Ambrose et Godement.