6. Mathématiques de la mécanique quantique II : dimension infinie
207
tandis que pour les valeurs propres (6.28) de x
χ a |χ b =
∞
−∞
dxδ(x − a)δ(x − b)=δ(a − b)
(6.30)
La normalisation des pseudo-vecteurs propres est donc donnée, non par un
delta de Kronecker, mais par un delta de Dirac. La généralisation du théorème
de décomposition spectrale s’énonce ainsi.
• Pour les valeurs a n du spectre discret étiquetées par un indice discret
n, on peut écrire une équation aux valeurs propres et des conditions de
normalisation analogues à celles de la dimension finie
A|n, r = a n |n, r
(6.31)
n, r|n
′ ,r
′ = δ nn ′ δ rr ′
(6.32)
où r est un indice de dégénérescence discret.
• Pour les valeurs a(ν) du spectre continu étiquetées par un indice continu
ν, nous aurons
A|ν, s = a(ν)|ν, s
(6.33)
ν, s|ν
′ ,s
′ = δ(ν − ν
′ ) δ ss ′
(6.34)
où |ν, s n’est pas un vecteur de H ; s est un indice de dégénérescence
qui peut être discret ou continu, mais que nous avons pris discret pour
fixer les notations.
• En outre, les vecteurs propres du spectre discret et ceux du spectre
continu sont orthogonaux
n, r|ν, s =0
(6.35)
La généralisation de la décomposition de l’identité, ou relation de fermeture
(2.30) s’écrit
I =
n,r
|n, rn, r| +
s
dν |ν, sν, s|
(6.36)
tandis que la décomposition spectrale (2.31) de A devient
A =
n,r
|n, ra n n, r| +
s
dν |ν, sa(ν)ν, s|
(6.37)
Insistons sur le fait que l’existence d’un spectre discret et/ou continu n’est en
rien liée au fait que l’opérateur A soit ou non borné : il existe des opérateurs
non bornés dont le spectre est entièrement discret, comme le hamiltonien
de l’oscillateur harmonique (§ 10.1.1) ou le carré du moment angulaire
J
2
(section 9.1), et des opérateurs bornés comme la multiplication par x dans
L
(2) [0, 1] dont le spectre est entièrement continu.
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tandis que pour les valeurs propres (6.28) de x
χ a |χ b =
∞
−∞
dxδ(x − a)δ(x − b)=δ(a − b)
(6.30)
La normalisation des pseudo-vecteurs propres est donc donnée, non par un
delta de Kronecker, mais par un delta de Dirac. La généralisation du théorème
de décomposition spectrale s’énonce ainsi.
• Pour les valeurs a n du spectre discret étiquetées par un indice discret
n, on peut écrire une équation aux valeurs propres et des conditions de
normalisation analogues à celles de la dimension finie
A|n, r = a n |n, r
(6.31)
n, r|n
′ ,r
′ = δ nn ′ δ rr ′
(6.32)
où r est un indice de dégénérescence discret.
• Pour les valeurs a(ν) du spectre continu étiquetées par un indice continu
ν, nous aurons
A|ν, s = a(ν)|ν, s
(6.33)
ν, s|ν
′ ,s
′ = δ(ν − ν
′ ) δ ss ′
(6.34)
où |ν, s n’est pas un vecteur de H ; s est un indice de dégénérescence
qui peut être discret ou continu, mais que nous avons pris discret pour
fixer les notations.
• En outre, les vecteurs propres du spectre discret et ceux du spectre
continu sont orthogonaux
n, r|ν, s =0
(6.35)
La généralisation de la décomposition de l’identité, ou relation de fermeture
(2.30) s’écrit
I =
n,r
|n, rn, r| +
s
dν |ν, sν, s|
(6.36)
tandis que la décomposition spectrale (2.31) de A devient
A =
n,r
|n, ra n n, r| +
s
dν |ν, sa(ν)ν, s|
(6.37)
Insistons sur le fait que l’existence d’un spectre discret et/ou continu n’est en
rien liée au fait que l’opérateur A soit ou non borné : il existe des opérateurs
non bornés dont le spectre est entièrement discret, comme le hamiltonien
de l’oscillateur harmonique (§ 10.1.1) ou le carré du moment angulaire
J
2
(section 9.1), et des opérateurs bornés comme la multiplication par x dans
L
(2) [0, 1] dont le spectre est entièrement continu.