206
Physique quantique : Fondements
z est un nombre complexe et l’équation
(zI − A)|ϕ = |χ
(6.27)
Soit D le domaine de (zI − A) et ∆(z) son image. Si ∆(z)=H, z est une
valeur régulière de A : la correspondance entre |ϕ et |χ est biunivoque et
la résolvante (2.46) R(z, A)=( zI − A)
−1
existe. Le spectre de A est par
définition l’ensemble des valeurs de z non régulières. Cette définition coïncide
bien avec celle de la dimension finie : en effet si |ϕ vérifie (6.23)
(zI − A)
z=a
|ϕ =(aI − A)|ϕ =0
et la résolvante n’est pas définie pour z = a.SiA est hermitien, il est facile de
montrer (exercice 6.4.2) que z = a+ib est une valeur régulière lorsque b =0:le
spectre de A est donc réel, comme dans le cas de la dimension finie. Les valeurs
de a peuvent, soit être indicées par un indice discret : a 1 ,a 2 , ...,a n , ...,soi t
prendre des valeurs continues, par exemple toutes les valeurs sur un intervalle
de la droite réelle : on distingue donc un spectre discret et un spectre continu.
Les valeurs de a, appartenant au spectre discret, vérifient une équation aux
valeurs propres (6.23), mais non celles du spectre continu. Le spectre continu
et le spectre discret peuvent se recouvrir : par exemple si a prend toute les
valeurs entre 0 et 1, il peut arriver que le spectre de A contienne des valeurs
propres discrètes 0 ≤ a n ≤ 1, bien que ce cas soit exceptionnel en pratique.
En général, pour les opérateurs utilisés en physique quantique, spectre discret
et continu ne se recouvrent pas.
Bien que le spectre de la dimension infinie présente des propriétés nouvelles
par rapport à celui de la dimension finie, il existe un théorème de décomposition spectrale qui généralise (2.31)
A =
n
a n P n
La forme mathématique précise de ce théorème est complexe, et les physiciens
s’en sortent en utilisant des “pseudo-vecteurs propres”, c’est-à-dire comme
dans (6.25) des objets qui vérifient formellement l’équation aux valeurs propres
mais ne sont pas des éléments de H. Dans le cas de (6.26), la “solution” sera
χ a (x)=δ(x − a)c a rxδ(x − a)=aδ(x − a)
(6.28)
où δ(x) est la distribution de Dirac, qui n’est pas une fonction, et certainement
pas un élément de L
(2) [0, 1].
Les exemples que nous venons de donner nous mettent sur la voie du
résultat général. La condition de “normalisation” des pseudo-vecteurs propres
(6.25) de −id/dx est, avec le choix C =1/
√
2π
ϕ a |ϕ b =
1
2π
∞
−∞
dx e
−iax e
ibx = δ(a − b)
(6.29)
Physique quantique : Fondements
z est un nombre complexe et l’équation
(zI − A)|ϕ = |χ
(6.27)
Soit D le domaine de (zI − A) et ∆(z) son image. Si ∆(z)=H, z est une
valeur régulière de A : la correspondance entre |ϕ et |χ est biunivoque et
la résolvante (2.46) R(z, A)=( zI − A)
−1
existe. Le spectre de A est par
définition l’ensemble des valeurs de z non régulières. Cette définition coïncide
bien avec celle de la dimension finie : en effet si |ϕ vérifie (6.23)
(zI − A)
z=a
|ϕ =(aI − A)|ϕ =0
et la résolvante n’est pas définie pour z = a.SiA est hermitien, il est facile de
montrer (exercice 6.4.2) que z = a+ib est une valeur régulière lorsque b =0:le
spectre de A est donc réel, comme dans le cas de la dimension finie. Les valeurs
de a peuvent, soit être indicées par un indice discret : a 1 ,a 2 , ...,a n , ...,soi t
prendre des valeurs continues, par exemple toutes les valeurs sur un intervalle
de la droite réelle : on distingue donc un spectre discret et un spectre continu.
Les valeurs de a, appartenant au spectre discret, vérifient une équation aux
valeurs propres (6.23), mais non celles du spectre continu. Le spectre continu
et le spectre discret peuvent se recouvrir : par exemple si a prend toute les
valeurs entre 0 et 1, il peut arriver que le spectre de A contienne des valeurs
propres discrètes 0 ≤ a n ≤ 1, bien que ce cas soit exceptionnel en pratique.
En général, pour les opérateurs utilisés en physique quantique, spectre discret
et continu ne se recouvrent pas.
Bien que le spectre de la dimension infinie présente des propriétés nouvelles
par rapport à celui de la dimension finie, il existe un théorème de décomposition spectrale qui généralise (2.31)
A =
n
a n P n
La forme mathématique précise de ce théorème est complexe, et les physiciens
s’en sortent en utilisant des “pseudo-vecteurs propres”, c’est-à-dire comme
dans (6.25) des objets qui vérifient formellement l’équation aux valeurs propres
mais ne sont pas des éléments de H. Dans le cas de (6.26), la “solution” sera
χ a (x)=δ(x − a)c a rxδ(x − a)=aδ(x − a)
(6.28)
où δ(x) est la distribution de Dirac, qui n’est pas une fonction, et certainement
pas un élément de L
(2) [0, 1].
Les exemples que nous venons de donner nous mettent sur la voie du
résultat général. La condition de “normalisation” des pseudo-vecteurs propres
(6.25) de −id/dx est, avec le choix C =1/
√
2π
ϕ a |ϕ b =
1
2π
∞
−∞
dx e
−iax e
ibx = δ(a − b)
(6.29)