6. Mathématiques de la mécanique quantique II : dimension infinie
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conjugué est aussi D AC : A
†
C = A C . Les opérateurs A C représentent pour
chaque valeur de C des prolongements différents de A 0 :m êm esil ad éfi n i t i on
est superficiellement la même (A = −id/dx), la différence des domaines fait
que A C et A C ′ sont des opérateurs différents pour C = C
′ !O nl ev é r i fi e
en montrant que les valeurs propres et vecteurs propres de A C et A C ′ sont
différents pour C = C
′ (exercice 6.4.3).
6.3 Décomposition spectrale
6.3.1 Opérateurs hermitiens
Le théorème de décomposition spectrale qui généralise (2.31) est en toute
rigueur valable uniquement pour les opérateurs auto-adjoints
7
. Suivant la tradition des physiciens, nous ne ferons désormais plus la différence entre hermitien et auto-adjoint, et nous parlerons uniquement d’opérateurs hermitiens. Si
un opérateur A est hermitien, et même s’il est borné, l’équation aux valeurs
propres
A|ϕ = a|ϕ
(6.23)
n’a pas toujours de solution. Par exemple, dans L
(2) (R) l’opérateur −id/dx
est hermitien, ce que l’on voit par une généralisation immédiate de (6.22).
L’équation
−i
d
dx
ϕ(x)=aϕ(x)
(6.24)
a pour solution l’onde plane
ϕ a (x)=C e
iax
(6.25)
où C est une constante, mais ϕ a (x) n’appartient pas à L
(2) (R) car
∞
−∞
dx |ϕ a (x)|
2 =
∞
−∞
dx |C|
2
est une intégrale divergente ; −id/dx est un opérateur non borné, mais même
pour un opérateur borné, par exemple la multiplication par x dans L
(2) [0, 1],
l’équation
xχ a (x)=aχ a (x)
(6.26)
n’a pas de solution dans L
(2) [0, 1]. En fait, la généralisation de (6.23) au cas
de la dimension infinie n’est assurée que pour une classe très particulière
d’opérateurs, les opérateurs compacts.
En dimension finie, lorsque |ϕ est vecteur propre de A avec la valeur
propre a suivant (6.23), on dit que a appartient au spectre de A. Pour généraliser cette notion à la dimension infinie, considérons l’opérateur (zI − A),o ù
7. Plus précisément, pour les opérateurs “essentiellement auto-adjoints” : (A † ) † = A † .
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conjugué est aussi D AC : A
†
C = A C . Les opérateurs A C représentent pour
chaque valeur de C des prolongements différents de A 0 :m êm esil ad éfi n i t i on
est superficiellement la même (A = −id/dx), la différence des domaines fait
que A C et A C ′ sont des opérateurs différents pour C = C
′ !O nl ev é r i fi e
en montrant que les valeurs propres et vecteurs propres de A C et A C ′ sont
différents pour C = C
′ (exercice 6.4.3).
6.3 Décomposition spectrale
6.3.1 Opérateurs hermitiens
Le théorème de décomposition spectrale qui généralise (2.31) est en toute
rigueur valable uniquement pour les opérateurs auto-adjoints
7
. Suivant la tradition des physiciens, nous ne ferons désormais plus la différence entre hermitien et auto-adjoint, et nous parlerons uniquement d’opérateurs hermitiens. Si
un opérateur A est hermitien, et même s’il est borné, l’équation aux valeurs
propres
A|ϕ = a|ϕ
(6.23)
n’a pas toujours de solution. Par exemple, dans L
(2) (R) l’opérateur −id/dx
est hermitien, ce que l’on voit par une généralisation immédiate de (6.22).
L’équation
−i
d
dx
ϕ(x)=aϕ(x)
(6.24)
a pour solution l’onde plane
ϕ a (x)=C e
iax
(6.25)
où C est une constante, mais ϕ a (x) n’appartient pas à L
(2) (R) car
∞
−∞
dx |ϕ a (x)|
2 =
∞
−∞
dx |C|
2
est une intégrale divergente ; −id/dx est un opérateur non borné, mais même
pour un opérateur borné, par exemple la multiplication par x dans L
(2) [0, 1],
l’équation
xχ a (x)=aχ a (x)
(6.26)
n’a pas de solution dans L
(2) [0, 1]. En fait, la généralisation de (6.23) au cas
de la dimension infinie n’est assurée que pour une classe très particulière
d’opérateurs, les opérateurs compacts.
En dimension finie, lorsque |ϕ est vecteur propre de A avec la valeur
propre a suivant (6.23), on dit que a appartient au spectre de A. Pour généraliser cette notion à la dimension infinie, considérons l’opérateur (zI − A),o ù
7. Plus précisément, pour les opérateurs “essentiellement auto-adjoints” : (A † ) † = A † .