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Physique quantique : Fondements
Ensuite, le domaine de définition de A
†
est en général plus grand que celui de
A : D A ⊆D A † . Nous allons le voir sur un exemple dans un instant. En général,
pour un opérateur non borné vérifiant (6.21), on n’aura pas A = A
†
mais
plutôt A ⊆ A
†
. Les mathématiciens réservent la dénomination “opérateurs
hermitiens” aux opérateurs tels que A ⊆ A
†
, et appellent “auto-adjoints” les
opérateurs tels que A = A
†
.
Illustrons cette discussion par un exemple dans L
(2) [0, 1], qui va nous familiariser avec le produit scalaire et la conjugaison hermitienne dans cet espace.
Soit A 0 l’opérateur −id/dx, défini sur le domaine D A0 des fonctions ϕ(x) de
L
(2) [0, 1], dérivables et dont la dérivée est de carré sommable, et vérifiant de
plus les conditions aux limites ϕ(0) = ϕ(1) = 0, d’où l’indice 0 de A 0 .I l
est intuitivement évident, et facile à vérifier, que ce domaine est dense dans
L
(2) [0, 1]. Montrons d’abord que A 0 est hermitien ; χ(x) étant une fonction de
L
(2) [0, 1] dérivable et dont la dérivée appartient à L
(2) [0, 1]
χ|A 0 ϕ =
1
0
dxχ
∗ (x)
− i
d
dx
ϕ(x)
= −i
1
0
dxχ
∗ (x)ϕ
′ (x)
A 0 χ|ϕ =
1
0
dx
− i
d
dx
χ(x)
∗
ϕ(x)=i
1
0
dx (χ
′ (x))
∗ ϕ(x)
χ|A 0 ϕ−−A 0 χ|ϕ = −i[χ
∗ (x)ϕ(x)]
1
0 =0
(6.22)
On remarquera la nécessité pour l’hermiticité du facteur i et des conditions
aux limites. On peut définir A
†
0 sur un domaine plus grand que D A0 .E n
effet, pour des fonctions χ(x) non contraintes par des conditions aux limites,
c’est-à-dire telles que χ(0) et χ(1) soient quelconques
A
†
0 χ|ϕ = i
1
0
dx (χ
′ (x))
∗ ϕ(x)
= i[χ
∗ (x)ϕ(x)]
1
0 − i
1
0
dxχ
∗ (x)ϕ
′ (x)=χ|A 0 ϕ
et par conséquent A 0 ⊆ A
†
0 . Enfin, définissons A C comme l’opérateur −id/dx
agissant dans le domaine D AC des fonctions ϕ(x) de L
(2) [0, 1], dérivables, dont
la dérivée appartient à L
(2) [0, 1], et vérifiant les conditions aux limites
ϕ(1) = Cϕ(0)
|C| =1
L’opérateur A C est auto-adjoint. En effet,
A C χ|ϕ−−χ|A C ϕ = −i(Cχ
∗ (1) − χ
∗ (0))ϕ(0)
La condition nécessaire et suffisante pour que le membre de droite s’annule
6
est que χ(1) = Cχ(0), ce qui montre que le domaine de l’opérateur hermitien
6. Noter que C ∗ =1/C.
Physique quantique : Fondements
Ensuite, le domaine de définition de A
†
est en général plus grand que celui de
A : D A ⊆D A † . Nous allons le voir sur un exemple dans un instant. En général,
pour un opérateur non borné vérifiant (6.21), on n’aura pas A = A
†
mais
plutôt A ⊆ A
†
. Les mathématiciens réservent la dénomination “opérateurs
hermitiens” aux opérateurs tels que A ⊆ A
†
, et appellent “auto-adjoints” les
opérateurs tels que A = A
†
.
Illustrons cette discussion par un exemple dans L
(2) [0, 1], qui va nous familiariser avec le produit scalaire et la conjugaison hermitienne dans cet espace.
Soit A 0 l’opérateur −id/dx, défini sur le domaine D A0 des fonctions ϕ(x) de
L
(2) [0, 1], dérivables et dont la dérivée est de carré sommable, et vérifiant de
plus les conditions aux limites ϕ(0) = ϕ(1) = 0, d’où l’indice 0 de A 0 .I l
est intuitivement évident, et facile à vérifier, que ce domaine est dense dans
L
(2) [0, 1]. Montrons d’abord que A 0 est hermitien ; χ(x) étant une fonction de
L
(2) [0, 1] dérivable et dont la dérivée appartient à L
(2) [0, 1]
χ|A 0 ϕ =
1
0
dxχ
∗ (x)
− i
d
dx
ϕ(x)
= −i
1
0
dxχ
∗ (x)ϕ
′ (x)
A 0 χ|ϕ =
1
0
dx
− i
d
dx
χ(x)
∗
ϕ(x)=i
1
0
dx (χ
′ (x))
∗ ϕ(x)
χ|A 0 ϕ−−A 0 χ|ϕ = −i[χ
∗ (x)ϕ(x)]
1
0 =0
(6.22)
On remarquera la nécessité pour l’hermiticité du facteur i et des conditions
aux limites. On peut définir A
†
0 sur un domaine plus grand que D A0 .E n
effet, pour des fonctions χ(x) non contraintes par des conditions aux limites,
c’est-à-dire telles que χ(0) et χ(1) soient quelconques
A
†
0 χ|ϕ = i
1
0
dx (χ
′ (x))
∗ ϕ(x)
= i[χ
∗ (x)ϕ(x)]
1
0 − i
1
0
dxχ
∗ (x)ϕ
′ (x)=χ|A 0 ϕ
et par conséquent A 0 ⊆ A
†
0 . Enfin, définissons A C comme l’opérateur −id/dx
agissant dans le domaine D AC des fonctions ϕ(x) de L
(2) [0, 1], dérivables, dont
la dérivée appartient à L
(2) [0, 1], et vérifiant les conditions aux limites
ϕ(1) = Cϕ(0)
|C| =1
L’opérateur A C est auto-adjoint. En effet,
A C χ|ϕ−−χ|A C ϕ = −i(Cχ
∗ (1) − χ
∗ (0))ϕ(0)
La condition nécessaire et suffisante pour que le membre de droite s’annule
6
est que χ(1) = Cχ(0), ce qui montre que le domaine de l’opérateur hermitien
6. Noter que C ∗ =1/C.