6. Mathématiques de la mécanique quantique II : dimension infinie
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priori définir la somme A + B de deux opérateurs non bornés A et B que sur
l’intersection D A ∩D B des deux domaines, ce qui peut devenir problématique
si cette intersection est réduite au vecteur nul ! Lorsque deux opérateurs A et
B sont égaux sur un même domaine D A , mais que le domaine de B contient
celui de A : D A ⊆D B ,o nd i tq u eB est un prolongement de A : A ⊆ B.
Donnons un exemple : la relation de commutation canonique (4.45) entre
les opérateurs position X et impulsion P , écrite pour une seule dimension
d’espace (d =1)
[X, P ]=iI
(6.19)
implique qu’au moins un des deux opérateurs est non borné (exercice 6.4.3).
Le membre de gauche [X, P ] de (6.19) n’est défini a priori que sur un sousensemble de H, tandis que le membre de droite iI est défini pour tout vecteur
de H. L’écriture correcte de la relation de commutation canonique est donc
[X, P ] ⊆ iI
Notons une autre différence avec la dimension finie : alors que dans un espace
vectoriel de dimension finie, l’existence d’un inverse à gauche entraîne celle
d’un inverse à droite, et réciproquement, cette propriété n’est plus vraie en
dimension infinie
5 . Soit par exemple les opérateurs A et B définis par leur
action sur les composantes c n d’un vecteur |ϕ
A(c 1 ,c 2 ,c 3 ...)=(c 2 ,c 3 ,c 4 ...)
B(c 1 ,c 2 ,c 3 ...)=(0,c 1 ,c 2 ,...)
alors
BA(c 1 ,c 2 ,c 3 ...)=B(c 2 ,c 3 ,c 4 ...)=(0,c 2 ,c 3 ,...)
AB(c 1 ,c 2 ,c 3 ...)=A(0,c 1 ,c 2 ,...)=(c 1 ,c 2 ,c 3 ,...)
et AB = I tandis que BA = I,b i e nq u eA et B soient tous deux bornés.
6.2.2 Conjugaison hermitienne
Dans le cas d’un opérateur borné, il n’y a pas de difficulté de principe pour
définir l’opérateur hermitien conjugué A
† de A par
χ|Aϕ = A
† χ|ϕ
(6.20)
Comme dans le cas de la dimension finie, on dira que A est hermitien si A = A
†
et on aura alors
χ|Aϕ = Aχ|ϕ
(6.21)
Les choses se compliquent si A n’est pas borné en raison des questions de
domaine. Tout d’abord, (6.20) ne peut définir A
† que si D A est dense dans H.
5. Un exemple important d’un tel opérateur en physique est l’opérateur de Møller de la
théorie de la diffusion : exercice 13.6.9.
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priori définir la somme A + B de deux opérateurs non bornés A et B que sur
l’intersection D A ∩D B des deux domaines, ce qui peut devenir problématique
si cette intersection est réduite au vecteur nul ! Lorsque deux opérateurs A et
B sont égaux sur un même domaine D A , mais que le domaine de B contient
celui de A : D A ⊆D B ,o nd i tq u eB est un prolongement de A : A ⊆ B.
Donnons un exemple : la relation de commutation canonique (4.45) entre
les opérateurs position X et impulsion P , écrite pour une seule dimension
d’espace (d =1)
[X, P ]=iI
(6.19)
implique qu’au moins un des deux opérateurs est non borné (exercice 6.4.3).
Le membre de gauche [X, P ] de (6.19) n’est défini a priori que sur un sousensemble de H, tandis que le membre de droite iI est défini pour tout vecteur
de H. L’écriture correcte de la relation de commutation canonique est donc
[X, P ] ⊆ iI
Notons une autre différence avec la dimension finie : alors que dans un espace
vectoriel de dimension finie, l’existence d’un inverse à gauche entraîne celle
d’un inverse à droite, et réciproquement, cette propriété n’est plus vraie en
dimension infinie
5 . Soit par exemple les opérateurs A et B définis par leur
action sur les composantes c n d’un vecteur |ϕ
A(c 1 ,c 2 ,c 3 ...)=(c 2 ,c 3 ,c 4 ...)
B(c 1 ,c 2 ,c 3 ...)=(0,c 1 ,c 2 ,...)
alors
BA(c 1 ,c 2 ,c 3 ...)=B(c 2 ,c 3 ,c 4 ...)=(0,c 2 ,c 3 ,...)
AB(c 1 ,c 2 ,c 3 ...)=A(0,c 1 ,c 2 ,...)=(c 1 ,c 2 ,c 3 ,...)
et AB = I tandis que BA = I,b i e nq u eA et B soient tous deux bornés.
6.2.2 Conjugaison hermitienne
Dans le cas d’un opérateur borné, il n’y a pas de difficulté de principe pour
définir l’opérateur hermitien conjugué A
† de A par
χ|Aϕ = A
† χ|ϕ
(6.20)
Comme dans le cas de la dimension finie, on dira que A est hermitien si A = A
†
et on aura alors
χ|Aϕ = Aχ|ϕ
(6.21)
Les choses se compliquent si A n’est pas borné en raison des questions de
domaine. Tout d’abord, (6.20) ne peut définir A
† que si D A est dense dans H.
5. Un exemple important d’un tel opérateur en physique est l’opérateur de Møller de la
théorie de la diffusion : exercice 13.6.9.