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Physique quantique : Fondements
à la différentiation à un facteur multiplicatif près, comme on le voit immédiatement en examinant la décomposition de Fourier (6.13). Il est clair que la
norme au carré de A|ϕ, donnée par
||Aϕ||
2 =
n
n
2 |c n |
2
peut diverger alors que
n |c n |
2 converge : il suffit par exemple de prendre
c n =1/n. Autrement dit, A|ϕ n’est pas nécessairement un vecteur de H.On
appelle domaine de A,n o t éD A , l’ensemble des vecteurs |ϕ tel que A|ϕ soit
un vecteur de H. Dans l’exemple ci-dessus, le domaine de A est l’ensemble
des vecteurs tels que
n n
2 |c n |
2 < ∞. Il est facile de se convaincre que ce
domaine est dense dans H. En pratique, un opérateur A ne présente un intérêt
que si son domaine est dense dans H.
Si A|ϕ existe quel que soit |ϕ, on dit que l’opérateur A est borné :o n
doit alors avoir ||Aϕ|| < ∞ quel que soit |ϕ. Le maximum de ||Aϕ||/||ϕ|| est
appelé la norme de A, qui est notée ||A||
||A|| =s u p
||ϕ||=1
||Aϕ||
(6.16)
Si la norme de ||A|| n’existe pas, A est dit non borné. Les opérateurs non
bornés sont d’un maniement beaucoup plus délicat que les opérateurs bornés.
Malheureusement ils sont omniprésents en mécanique quantique.
Dans L
(2) [0, 1], l’opérateur X qui à ϕ(x) fait correspondre la fonction
xϕ(x)
ϕ(x) → (Xϕ)(x)=xϕ(x)
(6.17)
est un opérateur borné de norme un. En revanche, l’opérateur d/dx,q u ià
ϕ(x) fait correspondre sa dérivée
ϕ(x) →
dϕ(x)
dx
(6.18)
n’est pas un opérateur borné. Nous l’avons déjà vu ci-dessus ; un autre argument simple consiste à trouver une fonction telle que la norme de ϕ(x) soit
finie, mais non celle de ϕ
′ (x). Par exemple, si
ϕ(x)=x
−1/4
dϕ(x)
dx
= −
1
4
x
−5/4
la norme de ϕ est finie, mais non celle de ϕ
′ car
1
0
dxx
−1/2 =2
1
0
dx
1
16
x
−5/2 diverge ` a x =0
Les problèmes de domaine peuvent rendre délicats la définition de la somme
et du produit de deux opérateurs non bornés. Par exemple, on ne peut a
Physique quantique : Fondements
à la différentiation à un facteur multiplicatif près, comme on le voit immédiatement en examinant la décomposition de Fourier (6.13). Il est clair que la
norme au carré de A|ϕ, donnée par
||Aϕ||
2 =
n
n
2 |c n |
2
peut diverger alors que
n |c n |
2 converge : il suffit par exemple de prendre
c n =1/n. Autrement dit, A|ϕ n’est pas nécessairement un vecteur de H.On
appelle domaine de A,n o t éD A , l’ensemble des vecteurs |ϕ tel que A|ϕ soit
un vecteur de H. Dans l’exemple ci-dessus, le domaine de A est l’ensemble
des vecteurs tels que
n n
2 |c n |
2 < ∞. Il est facile de se convaincre que ce
domaine est dense dans H. En pratique, un opérateur A ne présente un intérêt
que si son domaine est dense dans H.
Si A|ϕ existe quel que soit |ϕ, on dit que l’opérateur A est borné :o n
doit alors avoir ||Aϕ|| < ∞ quel que soit |ϕ. Le maximum de ||Aϕ||/||ϕ|| est
appelé la norme de A, qui est notée ||A||
||A|| =s u p
||ϕ||=1
||Aϕ||
(6.16)
Si la norme de ||A|| n’existe pas, A est dit non borné. Les opérateurs non
bornés sont d’un maniement beaucoup plus délicat que les opérateurs bornés.
Malheureusement ils sont omniprésents en mécanique quantique.
Dans L
(2) [0, 1], l’opérateur X qui à ϕ(x) fait correspondre la fonction
xϕ(x)
ϕ(x) → (Xϕ)(x)=xϕ(x)
(6.17)
est un opérateur borné de norme un. En revanche, l’opérateur d/dx,q u ià
ϕ(x) fait correspondre sa dérivée
ϕ(x) →
dϕ(x)
dx
(6.18)
n’est pas un opérateur borné. Nous l’avons déjà vu ci-dessus ; un autre argument simple consiste à trouver une fonction telle que la norme de ϕ(x) soit
finie, mais non celle de ϕ
′ (x). Par exemple, si
ϕ(x)=x
−1/4
dϕ(x)
dx
= −
1
4
x
−5/4
la norme de ϕ est finie, mais non celle de ϕ
′ car
1
0
dxx
−1/2 =2
1
0
dx
1
16
x
−5/2 diverge ` a x =0
Les problèmes de domaine peuvent rendre délicats la définition de la somme
et du produit de deux opérateurs non bornés. Par exemple, on ne peut a