6. Mathématiques de la mécanique quantique II : dimension infinie
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ou fonctions de carré sommable sur l’intervalle [a, b]. Ces fonctions forment
un espace vectoriel, noté L
(2) [a, b].E ne ff e t ,( i )ϕ(x)+λχ(x) est de carré
sommable si ϕ(x) et χ(x) le sont, (ii) le produit scalaire χ|ϕ
χ|ϕ =
b
a
dxχ
∗ (x)ϕ(x)
(6.11)
est bien défini en raison de l’inégalité de Schwartz
b
a
dxχ
∗ (x)ϕ(x)
2
≤
b
a
dx |χ(x)|
2
b
a
dx |ϕ(x)|
2 = ||χ||
2 ||ϕ||
2
(6.12)
Le fait que L
(2) [a, b] soit complet résulte d’un théorème dû à Riesz et Fischer,
et la séparabilité résulte d’un théorème standard de l’analyse de Fourier : toute
fonction de carré sommable ϕ(x) peut s’écrire, au sens de la convergence en
moyenne (ou en norme), comme la somme d’une série de Fourier
ϕ(x)=
∞
n=−∞
c n
1
(b − a)
exp
2iπnx
b − a
(6.13)
c n =
1
(b − a)
b
a
dxϕ(x)exp
−
2iπnx
b − a
(6.14)
Les fonctions
ϕ n (x)=
1
(b − a)
exp
2iπnx
b − a
(6.15)
forment une base orthonormée dénombrable de L
(2) [a, b],q u ie s td o n cu n
espace de Hilbert séparable.
(iii) Espace L
(2) (R). Quand l’intervalle [a, b] s’identifie à la droite réelle
R, [a, b] →] −∞, +∞[, on obtient l’espace de Hilbert L
(2) (R) (ou L
(2) (] −
∞, +∞[), l’espace des fonctions de carré sommable sur ] −∞, +∞[.B i e nq u e
la démonstration soit plus délicate, on peut montrer que L
(2) (R) reste un
espace séparable, et donc isomorphe à ℓ
(2) .
6.2 Opérateurs linéaires sur H
6.2.1 Domaine et norme d’un opérateur
On définit des opérateurs linéaires sur H comme dans le cas de la dimension finie. Cependant, il existe des différences importantes. Il peut arriver,
et c’est très souvent le cas en mécanique quantique, qu’un opérateur ne soit
pas défini pour tout vecteur de H, mais seulement sur un sous-ensemble de
vecteurs de H. Soit par exemple l’opérateur A agissant dans ℓ
(2) de la façon
suivante : si |ϕ a pour composantes {c 1 ,c 2 , ...,c n , ...},a l o r sA|ϕ ap o u r
composantes {c 1 , 2c 2 , ...,nc n , ...}.DansL
(2) [a, b], cet opérateur correspond
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ou fonctions de carré sommable sur l’intervalle [a, b]. Ces fonctions forment
un espace vectoriel, noté L
(2) [a, b].E ne ff e t ,( i )ϕ(x)+λχ(x) est de carré
sommable si ϕ(x) et χ(x) le sont, (ii) le produit scalaire χ|ϕ
χ|ϕ =
b
a
dxχ
∗ (x)ϕ(x)
(6.11)
est bien défini en raison de l’inégalité de Schwartz
b
a
dxχ
∗ (x)ϕ(x)
2
≤
b
a
dx |χ(x)|
2
b
a
dx |ϕ(x)|
2 = ||χ||
2 ||ϕ||
2
(6.12)
Le fait que L
(2) [a, b] soit complet résulte d’un théorème dû à Riesz et Fischer,
et la séparabilité résulte d’un théorème standard de l’analyse de Fourier : toute
fonction de carré sommable ϕ(x) peut s’écrire, au sens de la convergence en
moyenne (ou en norme), comme la somme d’une série de Fourier
ϕ(x)=
∞
n=−∞
c n
1
(b − a)
exp
2iπnx
b − a
(6.13)
c n =
1
(b − a)
b
a
dxϕ(x)exp
−
2iπnx
b − a
(6.14)
Les fonctions
ϕ n (x)=
1
(b − a)
exp
2iπnx
b − a
(6.15)
forment une base orthonormée dénombrable de L
(2) [a, b],q u ie s td o n cu n
espace de Hilbert séparable.
(iii) Espace L
(2) (R). Quand l’intervalle [a, b] s’identifie à la droite réelle
R, [a, b] →] −∞, +∞[, on obtient l’espace de Hilbert L
(2) (R) (ou L
(2) (] −
∞, +∞[), l’espace des fonctions de carré sommable sur ] −∞, +∞[.B i e nq u e
la démonstration soit plus délicate, on peut montrer que L
(2) (R) reste un
espace séparable, et donc isomorphe à ℓ
(2) .
6.2 Opérateurs linéaires sur H
6.2.1 Domaine et norme d’un opérateur
On définit des opérateurs linéaires sur H comme dans le cas de la dimension finie. Cependant, il existe des différences importantes. Il peut arriver,
et c’est très souvent le cas en mécanique quantique, qu’un opérateur ne soit
pas défini pour tout vecteur de H, mais seulement sur un sous-ensemble de
vecteurs de H. Soit par exemple l’opérateur A agissant dans ℓ
(2) de la façon
suivante : si |ϕ a pour composantes {c 1 ,c 2 , ...,c n , ...},a l o r sA|ϕ ap o u r
composantes {c 1 , 2c 2 , ...,nc n , ...}.DansL
(2) [a, b], cet opérateur correspond