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Physique quantique : Fondements
(i) Espace ℓ
(2)
. Un vecteur |ϕ est défini par une suite infinie de nombres
complexes c 1 , ...,c n ... telle que
||ϕ||
2 =
∞
n=1
|c n |
2 < ∞
(6.9)
Comme dans (6.4), les c n sont les composantes de |ϕ.V é r i fi o n sq u e|ϕ + λχ
appartient à H.S i|χ a pour composantes d n , étant donné que
|c n + λd n |
2 ≤ 2(|c n |
2 + |λ|
2 |d n |
2 )
il est clair que ||ϕ + λχ|| < ∞. Le produit scalaire de deux vecteurs
χ|ϕ =
∞
n=1
d
∗
n c n
est bien défini car, d’après l’inégalité de Schwartz (2.10)
|χ|ϕ| =
∞
n=1
d
∗
n c n
≤||χ|| ||ϕ||
Vérifions ensuite que ℓ
(2)
est complet. Soit |ϕ
(l) et |ϕ
(m) deux vecteurs de
composantes c
(l)
n et c
(m)
n .S i||ϕ
(m) − ϕ
(l) || <εpour l, m > N, cela veut dire
que
∞
n=1
c
(l)
n − c
(m)
n
2
1/2
<ε
L’inégalité est a fortiori vraie pour chaque valeur individuelle de n et, pour n
fixé, les nombres c
(l)
n forment une suite de Cauchy qui converge vers c n pour
l →∞ . On montre facilement (exercice 6.4.1) que le vecteur ϕ
(l)
converge
vers |ϕ =
n c n |n pour l →∞
lim
l→∞
n
cn − c
(l)
n
2
= lim
l→∞
||ϕ − ϕ
(l) ||
2 =0
Enfin ℓ
(2)
est de dimension dénombrable par construction.
(ii) Espace L
(2) [a, b]. Nous allons maintenant introduire une classe d’espaces vectoriels qui vont jouer un rôle capital, les espaces fonctionnels.
L’exemple le plus simple est celui des fonctions de carré sommable sur l’intervalle [a, b]. Considérons les fonctions complexes ϕ(x) telles que
4
b
a
dx|ϕ(x)|
2 < ∞
(6.10)
4. Deux fonctions ϕ(x) et ϕ(x) telles que
b
a
dx |ϕ(x) − ϕ(x)|
2 =0
représentent le même vecteur de H : ||ϕ − ϕ|| =0 .