6. Mathématiques de la mécanique quantique II : dimension infinie
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Dans ces conditions, quel que soit ε>0,ilexisteunentierN tel que le vecteur
|ϕ N défini par la combinaison suivante finie de vecteurs de base
|ϕ N =
N
n=1
c n |n
vérifie
||ϕ − ϕ N ||
2 =
∞
n=N +1
|c n |
2 ≤ ε
(6.6)
Autrement dit, il est possible d’approcher |ϕ par un vecteur |ϕ N dont la
norme diffère arbitrairement peu de celle de |ϕ. On peut maintenant approcher les c n par des nombres rationnels, et on voit qu’il est possible de
construire dans H une suite dénombrable de vecteurs qui soit dense
2 dans
H. Cette propriété, commune aux espaces de dimension finie et dénombrable,
s’appelle la séparabilité de l’espace de Hilbert : les espaces de Hilbert de la
mécanique quantique sont séparables.
La convergence définie par (6.6) est la convergence en norme, aussi appelée
convergence forte : on dit qu’une suite de vecteurs |ϕ
(l) converge en norme
vers |ϕ pour l →∞si quel que soit ε>0,i le x i s t eu ne n t i e rN tel que pour
l ≥ N
||ϕ − ϕ
(l) || ≤ ε
∀ l ≥ N
(6.7)
Il existe un autre type de convergence, la convergence faible : une suite de
vecteurs |ϕ
(l) converge faiblement vers |ϕ si pour tout vecteur |χ de H
lim
l→∞
ϕ
(l) |χ = ϕ|χ
(6.8)
Nous n’aurons pas à nous servir de la convergence faible
3 , mais l’existence de
cette convergence permet d’illustrer une différence avec la dimension finie :
les deux convergences sont identiques pour un espace de dimension finie, mais
non pour un espace de dimension infinie. La convergence forte implique la
convergence faible, mais non l’inverse (exercice 6.4.1).
6.1.2 Réalisations d’espaces séparables et de dimension
infinie
Tous les espaces de Hilbert séparables et de dimension infinie sont
isomorphes ; cependant, les réalisations concrètes peuvent a priori sembler
différentes et il est intéressant de pouvoir les identifier. Nous allons définir
successivement les espaces ℓ
(2) , L
(2) [a, b] et L
(2) (R), qui sont tous séparables
et de dimension infinie.
2. Un ensemble de vecteurs {|ϕ (α) } est dense dans H,s ip o u rt o u tε>0 et pour tout
vecteur |ϕ de H, on peut trouver un |ϕ (α) tel que ||ϕ − ϕ (α) || <ε.
3. Elle intervient par exemple dans certains problèmes de théorie quantique des champs.
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Dans ces conditions, quel que soit ε>0,ilexisteunentierN tel que le vecteur
|ϕ N défini par la combinaison suivante finie de vecteurs de base
|ϕ N =
N
n=1
c n |n
vérifie
||ϕ − ϕ N ||
2 =
∞
n=N +1
|c n |
2 ≤ ε
(6.6)
Autrement dit, il est possible d’approcher |ϕ par un vecteur |ϕ N dont la
norme diffère arbitrairement peu de celle de |ϕ. On peut maintenant approcher les c n par des nombres rationnels, et on voit qu’il est possible de
construire dans H une suite dénombrable de vecteurs qui soit dense
2 dans
H. Cette propriété, commune aux espaces de dimension finie et dénombrable,
s’appelle la séparabilité de l’espace de Hilbert : les espaces de Hilbert de la
mécanique quantique sont séparables.
La convergence définie par (6.6) est la convergence en norme, aussi appelée
convergence forte : on dit qu’une suite de vecteurs |ϕ
(l) converge en norme
vers |ϕ pour l →∞si quel que soit ε>0,i le x i s t eu ne n t i e rN tel que pour
l ≥ N
||ϕ − ϕ
(l) || ≤ ε
∀ l ≥ N
(6.7)
Il existe un autre type de convergence, la convergence faible : une suite de
vecteurs |ϕ
(l) converge faiblement vers |ϕ si pour tout vecteur |χ de H
lim
l→∞
ϕ
(l) |χ = ϕ|χ
(6.8)
Nous n’aurons pas à nous servir de la convergence faible
3 , mais l’existence de
cette convergence permet d’illustrer une différence avec la dimension finie :
les deux convergences sont identiques pour un espace de dimension finie, mais
non pour un espace de dimension infinie. La convergence forte implique la
convergence faible, mais non l’inverse (exercice 6.4.1).
6.1.2 Réalisations d’espaces séparables et de dimension
infinie
Tous les espaces de Hilbert séparables et de dimension infinie sont
isomorphes ; cependant, les réalisations concrètes peuvent a priori sembler
différentes et il est intéressant de pouvoir les identifier. Nous allons définir
successivement les espaces ℓ
(2) , L
(2) [a, b] et L
(2) (R), qui sont tous séparables
et de dimension infinie.
2. Un ensemble de vecteurs {|ϕ (α) } est dense dans H,s ip o u rt o u tε>0 et pour tout
vecteur |ϕ de H, on peut trouver un |ϕ (α) tel que ||ϕ − ϕ (α) || <ε.
3. Elle intervient par exemple dans certains problèmes de théorie quantique des champs.