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Physique quantique : Fondements
2. Cet espace est muni d’un produit scalaire défini positif ; si |ϕ et |χ
sont deux vecteurs, ce produit scalaire est noté χ|ϕ et il vérifie
χ|ϕ =( ϕ|χ)
∗
(6.1)
χ|ϕ + λψ = χ|ϕ + λχ|ψ
(6.2)
ϕ|ϕ = ||ϕ||
2 =0⇐⇒ | ϕ =0
(6.3)
λ étant un nombre complexe arbitraire ; ||ϕ|| désigne la norme de |ϕ.
3. H est un espace complet, c’est-à-dire un espace où toute suite de Cauchy
a une limite : si une suite de vecteurs |ϕ
(l) de H est telle que ||ϕ
(l) −
ϕ
(m) || → 0 pour l, m →∞ , alors il existe un vecteur |ϕ de H tel que
||ϕ
(l) −ϕ|| → 0 pour l →∞.SiH n’est pas complet, on peut toujours lui
rajouter les vecteurs limites de suites de Cauchy et le rendre complet
1
.
4. Un espace de Hilbert est caractérisé par sa dimension : tous les espaces de même dimension sont isomorphes. La dimension d’un espace de
Hilbert peut être finie et égale à N , elle peut être infinie dénombrable, ou
bien non dénombrable. Les espaces de Hilbert qui interviennent en mécanique quantique sont soit de dimension finie, soit de dimension infinie
dénombrable.
Nous avons étudié en détail au chapitre 2 les espaces de Hilbert de dimension
finie. Si la dimension est N ,ilfautN vecteurs unitaires orthogonaux |n,n=
1, ..., N pour former une base orthonormée : |1, |2, ..., |n, ..., |N .
Dans le cas dénombrable, il existe une suite dénombrable de vecteurs unitaires
orthogonaux |1, |2, ...,|n, ... formant une base de H : tout vecteur de H
peut s’écrire comme combinaison linéaire de ces vecteurs de base
|ϕ =
∞
n=1
c n |n
(6.4)
mais contrairement au cas de la dimension finie, toute combinaison de la forme
(6.4) n’est pas un vecteur de H ! En effet, le carré de la norme de |ϕ est donné
par
||ϕ||
2 =
∞
n=1
|c n |
2
(6.5)
et (6.4) ne définit un vecteur que si cette norme est finie : la série dans (6.5)
doit être une série convergente
∞
n=1
|c n |
2 < ∞
1. Cet axiome est donc, en fait, un peu superflu. Il est automatiquement vérifié dans le
cas de la dimension finie.
Physique quantique : Fondements
2. Cet espace est muni d’un produit scalaire défini positif ; si |ϕ et |χ
sont deux vecteurs, ce produit scalaire est noté χ|ϕ et il vérifie
χ|ϕ =( ϕ|χ)
∗
(6.1)
χ|ϕ + λψ = χ|ϕ + λχ|ψ
(6.2)
ϕ|ϕ = ||ϕ||
2 =0⇐⇒ | ϕ =0
(6.3)
λ étant un nombre complexe arbitraire ; ||ϕ|| désigne la norme de |ϕ.
3. H est un espace complet, c’est-à-dire un espace où toute suite de Cauchy
a une limite : si une suite de vecteurs |ϕ
(l) de H est telle que ||ϕ
(l) −
ϕ
(m) || → 0 pour l, m →∞ , alors il existe un vecteur |ϕ de H tel que
||ϕ
(l) −ϕ|| → 0 pour l →∞.SiH n’est pas complet, on peut toujours lui
rajouter les vecteurs limites de suites de Cauchy et le rendre complet
1
.
4. Un espace de Hilbert est caractérisé par sa dimension : tous les espaces de même dimension sont isomorphes. La dimension d’un espace de
Hilbert peut être finie et égale à N , elle peut être infinie dénombrable, ou
bien non dénombrable. Les espaces de Hilbert qui interviennent en mécanique quantique sont soit de dimension finie, soit de dimension infinie
dénombrable.
Nous avons étudié en détail au chapitre 2 les espaces de Hilbert de dimension
finie. Si la dimension est N ,ilfautN vecteurs unitaires orthogonaux |n,n=
1, ..., N pour former une base orthonormée : |1, |2, ..., |n, ..., |N .
Dans le cas dénombrable, il existe une suite dénombrable de vecteurs unitaires
orthogonaux |1, |2, ...,|n, ... formant une base de H : tout vecteur de H
peut s’écrire comme combinaison linéaire de ces vecteurs de base
|ϕ =
∞
n=1
c n |n
(6.4)
mais contrairement au cas de la dimension finie, toute combinaison de la forme
(6.4) n’est pas un vecteur de H ! En effet, le carré de la norme de |ϕ est donné
par
||ϕ||
2 =
∞
n=1
|c n |
2
(6.5)
et (6.4) ne définit un vecteur que si cette norme est finie : la série dans (6.5)
doit être une série convergente
∞
n=1
|c n |
2 < ∞
1. Cet axiome est donc, en fait, un peu superflu. Il est automatiquement vérifié dans le
cas de la dimension finie.