Chapitre 6
Mathématiques de la mécanique
quantique II : dimension infinie
Nous avons vu au chapitre 4 que les relations de commutation canoniques
imposaient d’utiliser un espace des états de dimension infinie, dont le traitement rigoureux exigerait un outillage mathématique important. Heureusement, les physiciens peuvent en général se contenter de transposer au cas de
la dimension infinie les résultats démontrés dans le cas de la dimension finie,
avec des modifications simples que nous allons indiquer, sans avoir à se lancer
dans des mathématiques trop complexes. Néanmoins, il n’est pas inutile d’être
conscient des impasses sur la rigueur dont les physiciens sont coutumiers, afin
d’éviter d’éventuelles mauvaises surprises.
L’objectif de ce chapitre est donc, d’une part, d’illustrer sur quelques
exemples concrets les nouveautés apportées par la dimension infinie et,
d’autre part, de donner des règles de calcul pratiques et en particulier
d’écrire la décomposition spectrale des opérateurs hermitiens et unitaires. Les
explications mathématiques sont un peu plus détaillées que celles données habituellement dans les manuels de mécanique quantique. Le lecteur intéressé
uniquement par les aspects pratiques peut passer directement à la section 6.3,
où sont rassemblés les résultats essentiels pour la suite.
6.1 Espaces de Hilbert
6.1.1 Définitions
L’espace des états de la mécanique quantique est un espace de Hilbert
H, en général de dimension infinie. La définition axiomatique d’un espace de
Hilbert est la suivante.
1. C’est un espace vectoriel qui, pour les besoins de la mécanique quantique, est défini sur le corps des complexes. Les vecteurs de cet espace
sont notés |ϕ.
Mathématiques de la mécanique
quantique II : dimension infinie
Nous avons vu au chapitre 4 que les relations de commutation canoniques
imposaient d’utiliser un espace des états de dimension infinie, dont le traitement rigoureux exigerait un outillage mathématique important. Heureusement, les physiciens peuvent en général se contenter de transposer au cas de
la dimension infinie les résultats démontrés dans le cas de la dimension finie,
avec des modifications simples que nous allons indiquer, sans avoir à se lancer
dans des mathématiques trop complexes. Néanmoins, il n’est pas inutile d’être
conscient des impasses sur la rigueur dont les physiciens sont coutumiers, afin
d’éviter d’éventuelles mauvaises surprises.
L’objectif de ce chapitre est donc, d’une part, d’illustrer sur quelques
exemples concrets les nouveautés apportées par la dimension infinie et,
d’autre part, de donner des règles de calcul pratiques et en particulier
d’écrire la décomposition spectrale des opérateurs hermitiens et unitaires. Les
explications mathématiques sont un peu plus détaillées que celles données habituellement dans les manuels de mécanique quantique. Le lecteur intéressé
uniquement par les aspects pratiques peut passer directement à la section 6.3,
où sont rassemblés les résultats essentiels pour la suite.
6.1 Espaces de Hilbert
6.1.1 Définitions
L’espace des états de la mécanique quantique est un espace de Hilbert
H, en général de dimension infinie. La définition axiomatique d’un espace de
Hilbert est la suivante.
1. C’est un espace vectoriel qui, pour les besoins de la mécanique quantique, est défini sur le corps des complexes. Les vecteurs de cet espace
sont notés |ϕ.