5. Systèmes à nombre de niveaux fini
191
Si l’on néglige les termes de l’ordre de (δ/ω 1 )
2
, l’état |χ del’atomeàlasortie
de C 1 est
|χ =
1
√
2
1 −
iδ
ω 1
|g + i|e
De plus, la propagation de l’atome entre C 1 et C 2 est modifiée, car pour
τ ≤ t ≤ T + τ nous avons dans le référentiel tournant
ˆ
H =
1
2
δσ z
ˆ
U(t)=e
−iδσz t/2
Négligeant les terme en (δ/ω 1 ) dans l’expression de |χ, à l’entrée de C 2 l’état
de l’atome est
e
−iδσz T/2 1
√
2
(|g + i|e)=
1
√
2
e
−iδT/2 |g + ie
iδT/2 |e
L’action de C 2 est identique à celle du cas résonant et d’après (5.88) l’atome
àl as o r t i ed eC 2 se trouve dans l’état
1
2
e
−iδT/2 (|g + i|e)+ie
iδT/2 (|e + i|g)
= i
− sin
δT
2
|g +cos
δT
2
|e
(5.90)
La probabilité de déclencher D est donc
p(T )=sin
2 δT
2
(5.91)
L’asservissement de la fréquence ω à ω 0 consiste à rendre la probabilité de détection (5.91) aussi petite que possible. Si le détecteur enregistre un maximum
d’atomes, cela veut dire que δT = π : la méthode détecte donc un désaccord
δ ∼ 1/T . Plus le temps de parcours est long, et meilleure sera la précision de
l’horloge. Cette précision atteint 10
−13
en valeur relative, ce qui correspond
à une dérive d’une seconde tous les 300 000 ans.
5.5 Exercices
5.5.1 Base orthonormée de vecteurs propres
Vérifier par un calcul explicite que les vecteurs |χ s (5.12) forment une
base orthonormée : χ s ′ |χ s = δ s ′ s .
5.5.2 Moment dipolaire électrique du formaldéhyde
1. On se propose de modéliser le comportement des deux électrons π de
la double liaison de la molécule de formaldéhyde H 2 -C=O. L’oxygène étant
plus électronégatif que le carbone, montrer que le hamiltonien d’un électron
prend la forme
E C −A
−AE O
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Si l’on néglige les termes de l’ordre de (δ/ω 1 )
2
, l’état |χ del’atomeàlasortie
de C 1 est
|χ =
1
√
2
1 −
iδ
ω 1
|g + i|e
De plus, la propagation de l’atome entre C 1 et C 2 est modifiée, car pour
τ ≤ t ≤ T + τ nous avons dans le référentiel tournant
ˆ
H =
1
2
δσ z
ˆ
U(t)=e
−iδσz t/2
Négligeant les terme en (δ/ω 1 ) dans l’expression de |χ, à l’entrée de C 2 l’état
de l’atome est
e
−iδσz T/2 1
√
2
(|g + i|e)=
1
√
2
e
−iδT/2 |g + ie
iδT/2 |e
L’action de C 2 est identique à celle du cas résonant et d’après (5.88) l’atome
àl as o r t i ed eC 2 se trouve dans l’état
1
2
e
−iδT/2 (|g + i|e)+ie
iδT/2 (|e + i|g)
= i
− sin
δT
2
|g +cos
δT
2
|e
(5.90)
La probabilité de déclencher D est donc
p(T )=sin
2 δT
2
(5.91)
L’asservissement de la fréquence ω à ω 0 consiste à rendre la probabilité de détection (5.91) aussi petite que possible. Si le détecteur enregistre un maximum
d’atomes, cela veut dire que δT = π : la méthode détecte donc un désaccord
δ ∼ 1/T . Plus le temps de parcours est long, et meilleure sera la précision de
l’horloge. Cette précision atteint 10
−13
en valeur relative, ce qui correspond
à une dérive d’une seconde tous les 300 000 ans.
5.5 Exercices
5.5.1 Base orthonormée de vecteurs propres
Vérifier par un calcul explicite que les vecteurs |χ s (5.12) forment une
base orthonormée : χ s ′ |χ s = δ s ′ s .
5.5.2 Moment dipolaire électrique du formaldéhyde
1. On se propose de modéliser le comportement des deux électrons π de
la double liaison de la molécule de formaldéhyde H 2 -C=O. L’oxygène étant
plus électronégatif que le carbone, montrer que le hamiltonien d’un électron
prend la forme
E C −A
−AE O