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Physique quantique : Fondements
pour 0 ≤ t ≤ τ ainsi que pour T + τ ≤ t ≤ T +2τ
ˆ
H =
1
2
δσ z −
1
2
ω 1 σ x
ˆ
U (t)=e
−i ˆ
Ht/
(5.87)
où δ = ω − ω 0 est le désaccord entre la fréquence ω de la source et la fréquence
de référence ω 0 . La fréquence de Rabi ω 1 est proportionnelle au champ électrique qui règne dans les cavités C 1 et C 2 ,e tω 1 =0en dehors de ces cavités.
D’après le § 5.2.1, la loi d’évolution du vecteur d’état | ˆ
ϕ(t) de l’atome est
donnée dans le référentiel tournant par
| ˆ
ϕ(t) = e
−i ˆ
Ht/ | ˆ
ϕ(t =0) = ˆ
U (t)| ˆ
ϕ(t =0)
On se place d’abord à la résonance : δ =0, et on s’arrange pour que l’atome
initialement dans l’état |g traverse C 1 en un temps τ tel que ω 1 τ = π/2 ;l a
condition ω 1 τ/2=π/4 correspond à une impulsion π/2 qui transforme |g en
(|g + i|e)/
√
2.
Pendant l’intervalle de temps T où l’atome se propage entre C 1 et C 2 ,
ˆ
U(t)=I : dans le référentiel tournant, l’atome n’évolue pas entre C 1 et C 2 .
L’atome met un temps τ à traverser C 2 , soit une nouvelle impulsion π/2
|g→
1
√
2
(|g + i|e)
|e→
1
√
2
(i|g + |e)
(5.88)
ce qui implique (|g + i|e)/
√
2 → i|e. L’atome se retrouve dans l’état excité car deux impulsions π/2 successives sont équivalentes à une impulsion π,
soit une rotation de π sur la sphère de Poincaré-Bloch. Dans ces conditions,
les atomes arrivent dans l’état |e et le détecteur n’est pas déclenché. Cette
méthode, dite des franges de Ramsey, repose sur le même principe que l’interféromètre de Mach-Zehnder. La cavité C 1 joue le rôle de la première lame
séparatrice et C 2 celle de la seconde. Dans l’interféromètre de Mach-Zehnder,
les trajets des photons correspondent à des propagations spatiales différentes,
et dans la méthode des franges de Ramsey, les trajets des atomes sont situés
dans l’espace de Hilbert des deux états atomiques.
Pour une étude complète, il faut maintenant se placer en dehors de la
résonance, δ =0 . À la sortie de C 1 , l’état de l’atome est ˆ
U (τ )|g, avec (voir
(5.42))
ˆ
U(τ )=I cos
Ωτ
2
+ i
ω 1
Ω
σ x −
δ
Ω
σ z
sin
Ωτ
2
Ω=
ω 2
1 + δ 2 (5.89)
Pour δ ≪ ω 1 ,
Ω=
ω 2
1 + δ 2 ≃ ω 1
1+
δ
2
2ω 2
1
ω 1
Ω
=1−
δ
2
2ω 2
1
ce qui entraîne
cos
Ωτ
2
=
1
√
2
1+O
δ
ω 1
2
sin
Ωτ
2
=
1
√
2
1+O
δ
ω 1
2
Physique quantique : Fondements
pour 0 ≤ t ≤ τ ainsi que pour T + τ ≤ t ≤ T +2τ
ˆ
H =
1
2
δσ z −
1
2
ω 1 σ x
ˆ
U (t)=e
−i ˆ
Ht/
(5.87)
où δ = ω − ω 0 est le désaccord entre la fréquence ω de la source et la fréquence
de référence ω 0 . La fréquence de Rabi ω 1 est proportionnelle au champ électrique qui règne dans les cavités C 1 et C 2 ,e tω 1 =0en dehors de ces cavités.
D’après le § 5.2.1, la loi d’évolution du vecteur d’état | ˆ
ϕ(t) de l’atome est
donnée dans le référentiel tournant par
| ˆ
ϕ(t) = e
−i ˆ
Ht/ | ˆ
ϕ(t =0) = ˆ
U (t)| ˆ
ϕ(t =0)
On se place d’abord à la résonance : δ =0, et on s’arrange pour que l’atome
initialement dans l’état |g traverse C 1 en un temps τ tel que ω 1 τ = π/2 ;l a
condition ω 1 τ/2=π/4 correspond à une impulsion π/2 qui transforme |g en
(|g + i|e)/
√
2.
Pendant l’intervalle de temps T où l’atome se propage entre C 1 et C 2 ,
ˆ
U(t)=I : dans le référentiel tournant, l’atome n’évolue pas entre C 1 et C 2 .
L’atome met un temps τ à traverser C 2 , soit une nouvelle impulsion π/2
|g→
1
√
2
(|g + i|e)
|e→
1
√
2
(i|g + |e)
(5.88)
ce qui implique (|g + i|e)/
√
2 → i|e. L’atome se retrouve dans l’état excité car deux impulsions π/2 successives sont équivalentes à une impulsion π,
soit une rotation de π sur la sphère de Poincaré-Bloch. Dans ces conditions,
les atomes arrivent dans l’état |e et le détecteur n’est pas déclenché. Cette
méthode, dite des franges de Ramsey, repose sur le même principe que l’interféromètre de Mach-Zehnder. La cavité C 1 joue le rôle de la première lame
séparatrice et C 2 celle de la seconde. Dans l’interféromètre de Mach-Zehnder,
les trajets des photons correspondent à des propagations spatiales différentes,
et dans la méthode des franges de Ramsey, les trajets des atomes sont situés
dans l’espace de Hilbert des deux états atomiques.
Pour une étude complète, il faut maintenant se placer en dehors de la
résonance, δ =0 . À la sortie de C 1 , l’état de l’atome est ˆ
U (τ )|g, avec (voir
(5.42))
ˆ
U(τ )=I cos
Ωτ
2
+ i
ω 1
Ω
σ x −
δ
Ω
σ z
sin
Ωτ
2
Ω=
ω 2
1 + δ 2 (5.89)
Pour δ ≪ ω 1 ,
Ω=
ω 2
1 + δ 2 ≃ ω 1
1+
δ
2
2ω 2
1
ω 1
Ω
=1−
δ
2
2ω 2
1
ce qui entraîne
cos
Ωτ
2
=
1
√
2
1+O
δ
ω 1
2
sin
Ωτ
2
=
1
√
2
1+O
δ
ω 1
2