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Physique quantique : Fondements
où ω = E 2 −E 1 ; Aǫ(ω) estletauxdetransitionE 1 → E 2 par unité de temps
dû à l’absorption stimulée dans l’état E 1 et Bǫ(ω) le taux de transition E 2 →
E 1 par unité de temps dû à l’émission stimulée. Ces taux sont proportionnels
à la densité d’énergie ǫ(ω). À l’équilibre,
dN 1
dt
=
dN 2
dt
=0
et le rapport des populations est donné par la loi de Boltzmann (1.12) d’où
A
B
=
N
eq
1
N
eq
2
=exp
−
E 1 − E 2
k B T
=exp
ω
k B T
(5.75)
Ce résultat n’est pas physiquement acceptable, car A et B ne peuvent dépendre que des caractéristiques de l’interaction du champ électromagnétique
avec l’atome, et non de la température. Il faut corriger (5.75) pour tenir
compte de l’émission spontanée, indépendante de ǫ(ω)
dN 1
dt
=(−AN 1 + BN 2 )ǫ(ω)+B
′ N 2
(5.76)
La condition dN 1 /dt =0jointe à la condition d’équilibre de Boltzmann donne
pour ǫ(ω)
ǫ(ω)=
B
′
AN 1 /N 2 − B
=
B
′
A exp
ω
k B T
− B
(5.77)
La comparaison avec (1.22) montre que A = B et que
B
′
A
=
ω
3
π 2 c 3
On remarque que l’on aurait aussi bien pu utiliser dans le raisonnement la
densité de photons n(ω)=ǫ(ω)/ω ou toute quantité proportionnelle à la
densité d’énergie ǫ(ω), au prix d’une simple redéfinition de A et B.C a l c u l o n s
explicitement B
′
; ǫ(ω) est une densité d’énergie par unité de fréquence, et
l’intensité I(ω) dans (5.67) est reliée à ǫ(ω) par
I(ω)=cǫ(ω)
ce qui donne par comparaison avec (5.69) la probabilité d’absorption par unité
de temps
A =4π
2 c
d
2
4πε 0 2 c
Cependant, dans notre modèle, le dipôle ne peut osciller que dans une seule
direction, par exemple Oz, ce qui entraîne que les photons polarisés perpendiculairement à Oz ne sont pas absorbés, et la probabilité d’absorption de
l’équation ci-dessus doit être divisée par un facteur 2. De plus, pour obtenir la
Physique quantique : Fondements
où ω = E 2 −E 1 ; Aǫ(ω) estletauxdetransitionE 1 → E 2 par unité de temps
dû à l’absorption stimulée dans l’état E 1 et Bǫ(ω) le taux de transition E 2 →
E 1 par unité de temps dû à l’émission stimulée. Ces taux sont proportionnels
à la densité d’énergie ǫ(ω). À l’équilibre,
dN 1
dt
=
dN 2
dt
=0
et le rapport des populations est donné par la loi de Boltzmann (1.12) d’où
A
B
=
N
eq
1
N
eq
2
=exp
−
E 1 − E 2
k B T
=exp
ω
k B T
(5.75)
Ce résultat n’est pas physiquement acceptable, car A et B ne peuvent dépendre que des caractéristiques de l’interaction du champ électromagnétique
avec l’atome, et non de la température. Il faut corriger (5.75) pour tenir
compte de l’émission spontanée, indépendante de ǫ(ω)
dN 1
dt
=(−AN 1 + BN 2 )ǫ(ω)+B
′ N 2
(5.76)
La condition dN 1 /dt =0jointe à la condition d’équilibre de Boltzmann donne
pour ǫ(ω)
ǫ(ω)=
B
′
AN 1 /N 2 − B
=
B
′
A exp
ω
k B T
− B
(5.77)
La comparaison avec (1.22) montre que A = B et que
B
′
A
=
ω
3
π 2 c 3
On remarque que l’on aurait aussi bien pu utiliser dans le raisonnement la
densité de photons n(ω)=ǫ(ω)/ω ou toute quantité proportionnelle à la
densité d’énergie ǫ(ω), au prix d’une simple redéfinition de A et B.C a l c u l o n s
explicitement B
′
; ǫ(ω) est une densité d’énergie par unité de fréquence, et
l’intensité I(ω) dans (5.67) est reliée à ǫ(ω) par
I(ω)=cǫ(ω)
ce qui donne par comparaison avec (5.69) la probabilité d’absorption par unité
de temps
A =4π
2 c
d
2
4πε 0 2 c
Cependant, dans notre modèle, le dipôle ne peut osciller que dans une seule
direction, par exemple Oz, ce qui entraîne que les photons polarisés perpendiculairement à Oz ne sont pas absorbés, et la probabilité d’absorption de
l’équation ci-dessus doit être divisée par un facteur 2. De plus, pour obtenir la