5. Systèmes à nombre de niveaux fini
183
probabilité d’émission spontanée B
′
, il faut prendre en compte une moyenne
angulaire. Comme le dipôle oscille dans la direction fixe Oz le produit scalaire
d ·
E fait intervenir la polarisation e s ( k) du photon émis de vecteur d’onde k,
d ·
E = dˆ z · e s ( k) ; s =1 , 2 est un indice de polarisation. La polarisation est
orthogonale au vecteur d’onde k du photon, e s · k =0 ,o nd o i ti n t é g r e rs u r
tous les angles d’émission et sommer sur les polarisations. Il faut donc prendre
la moyenne angulaire
s=1,2
ˆ
z · e s ( k)
2
=
1
4π
dΩ k
s=1,2
ˆ
z · e s ( k)
2
Comme e 1 , e 2 et ˆ
k forment un trièdre
(ˆ z · e 1 )
2 +(ˆ z · e 2 )
2 =1− (ˆ z · ˆ
k)
2 =sin
2 θ
où θ est l’angle entre Oz et k. La moyenne angulaire vaut
sin
2 θ =
1
4π
dΩ k sin
2 θ =
2
3
Remaplaçant ω par ω 0 et tenant compte du facteur 1/2 mentionné ci-dessus
pour A, on déduit la probabilité d’émission spontanée pour une transition
dipolaire électrique
B
′ =
2ω
3
0
3π 2 c 3
A
2
=
4ω
3
0
3c 2
d
2
4πε 0 c
(5.78)
Dans le cas de la physique atomique, un ordre de grandeur du moment dipolaire d est d ∼ q e a,o ùa est le rayon de l’orbite électronique, et on a
l’estimation
B
′ ∼ α
a
2 ω
3
0
c 2 ∼ α
5
m e c
2
(5.79)
où α = q
2
e /(4πε 0 c) est la constante de structure fine. Cette estimation est
en accord avec (1.44), qui était fondé sur le calcul classique du rayonnement.
Un calcul complet de B
′
sera donné au § 17.3.4, qui confirmera (5.78).
Bien que la RMN et les atomes à deux niveaux exhibent des analogies
remarquables, et bien que le traitement mathématique soit identique, il n’en
existe pas moins une importante différence de principe entre les deux cas.
La mesure en RMN n’est pas une mesure projective du type défini en (4.7),
mais elle utilise un signal collectif construit par un nombre macroscopique
(∼ 10
20 ) de molécules. L’énergie du photon émis dans la transition entre les
deux niveaux Zeeman du spin nucléaire, de l’ordre de 1 µ eV, est bien trop
faible pour être détectée pour une molécule isolée, et une autre conséquence
est que l’émission spontanée est négligeable, en raison de sa dépendance en ω
3
0 .
Le détecteur RMN est une bobine enroulée autour de l’échantillon (figure 5.9).
L’aimantation tournante induit une force électromotrice qui est détectée dans
la bobine, et cette détection est un processus qui se décrit classiquement.
183
probabilité d’émission spontanée B
′
, il faut prendre en compte une moyenne
angulaire. Comme le dipôle oscille dans la direction fixe Oz le produit scalaire
d ·
E fait intervenir la polarisation e s ( k) du photon émis de vecteur d’onde k,
d ·
E = dˆ z · e s ( k) ; s =1 , 2 est un indice de polarisation. La polarisation est
orthogonale au vecteur d’onde k du photon, e s · k =0 ,o nd o i ti n t é g r e rs u r
tous les angles d’émission et sommer sur les polarisations. Il faut donc prendre
la moyenne angulaire
s=1,2
ˆ
z · e s ( k)
2
=
1
4π
dΩ k
s=1,2
ˆ
z · e s ( k)
2
Comme e 1 , e 2 et ˆ
k forment un trièdre
(ˆ z · e 1 )
2 +(ˆ z · e 2 )
2 =1− (ˆ z · ˆ
k)
2 =sin
2 θ
où θ est l’angle entre Oz et k. La moyenne angulaire vaut
sin
2 θ =
1
4π
dΩ k sin
2 θ =
2
3
Remaplaçant ω par ω 0 et tenant compte du facteur 1/2 mentionné ci-dessus
pour A, on déduit la probabilité d’émission spontanée pour une transition
dipolaire électrique
B
′ =
2ω
3
0
3π 2 c 3
A
2
=
4ω
3
0
3c 2
d
2
4πε 0 c
(5.78)
Dans le cas de la physique atomique, un ordre de grandeur du moment dipolaire d est d ∼ q e a,o ùa est le rayon de l’orbite électronique, et on a
l’estimation
B
′ ∼ α
a
2 ω
3
0
c 2 ∼ α
5
m e c
2
(5.79)
où α = q
2
e /(4πε 0 c) est la constante de structure fine. Cette estimation est
en accord avec (1.44), qui était fondé sur le calcul classique du rayonnement.
Un calcul complet de B
′
sera donné au § 17.3.4, qui confirmera (5.78).
Bien que la RMN et les atomes à deux niveaux exhibent des analogies
remarquables, et bien que le traitement mathématique soit identique, il n’en
existe pas moins une importante différence de principe entre les deux cas.
La mesure en RMN n’est pas une mesure projective du type défini en (4.7),
mais elle utilise un signal collectif construit par un nombre macroscopique
(∼ 10
20 ) de molécules. L’énergie du photon émis dans la transition entre les
deux niveaux Zeeman du spin nucléaire, de l’ordre de 1 µ eV, est bien trop
faible pour être détectée pour une molécule isolée, et une autre conséquence
est que l’émission spontanée est négligeable, en raison de sa dépendance en ω
3
0 .
Le détecteur RMN est une bobine enroulée autour de l’échantillon (figure 5.9).
L’aimantation tournante induit une force électromotrice qui est détectée dans
la bobine, et cette détection est un processus qui se décrit classiquement.