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Physique quantique : Fondements
la résolution des équations d’évolution, nous pouvons supposer ˜
c + ≃ 1 :e n
effet, en raison de la condition (5.63), ˜
c + n’a pas le temps de varier de façon
appréciable. La solution approximative de l’équation donnant ˜
c − est alors
évidente
˜
c − (t) ≃
ω 1
2i
t
0
dt
′ exp[−i(ω − ω 0 )t
′ ]=−
ω 1
2
1 − exp[−i(ω − ω 0 )t]
ω − ω 0
(5.64)
ce qui donne pour la probabilité de transition à une fréquence ω, p(ω; t)
p(ω; t)=|˜ c − (t)|
2 =
1
4
ω
2
1 t
2 sin
2 [(ω − ω 0 )t/2]
[(ω − ω 0 )t/2] 2
(5.65)
Il semble donc que p(ω; t) ∝ t
2 pour |δ|t ≪ 1, mais ceci est dû au fait que
le spectre de fréquences de l’onde électromagnétique contient une fréquence
unique ω, ce qui est irréaliste. En réalité, on a toujours un spectre continu
de fréquences, et nous allons en tenir compte. Le rapport entre ce résultat et
celui obtenu à la résonance est
p(ω; t)
p(ω 0 ; t)
= f (ω − ω 0 ; t)=
sin
2 [(ω − ω 0 )t/2]
[(ω − ω 0 )t/2] 2
La fonction f (ω − ω 0 ; t) est tracée sur la figure 5.16 en fonction de ω. Elle
présente un pic aigu à ω = ω 0 , de largeur ∼ 2π/t.C o m p t et e n ud e
∞
−∞
sin
2 x
x 2 dx = π
l’aire sous la courbe est 2π/t et f (ω − ω 0 ; t) est approximativement un delta
de Dirac
f (ω − ω 0 ; t)=
sin
2 [(ω − ω 0 )t/2]
[(ω − ω 0 )t/2] 2 ≃
2π
t
δ(ω − ω 0 )
(5.66)
Ces résultats nous permettent de calculer le taux de transition de l’état |χ +
vers l’état |χ − dû à l’absorption de rayonnement électromagnétique par la
molécule dans son état fondamental
19 . Le flux d’énergie incident I d’une onde
électromagnétique est donné par le vecteur de Poynting
S = ε 0 c
2
E×
B
I = ε 0 c
2
E×
BB =
1
2
ε 0 cE
2
0
(5.67)
où •• représente une moyenne temporelle et le champ électrique est de la
forme (5.53). Dans ces conditions,
p(ω; t)=
d E 0
2
2
t
2 f (ω − ω 0 ; t)=2π
d
2
4πε 0 2 c
I t
2 f (ω − ω 0 ; t) (5.68)
19. Plus précisément, il s’agit de l’ensemble des transitions d’énergie (E 0 − A) à (E 0 + A)
(figure 5.12), ce qui suppose de sélectionner les molécules dans l’état (E 0 − A) par le
mécanisme décrit au § 5.2.2.
Physique quantique : Fondements
la résolution des équations d’évolution, nous pouvons supposer ˜
c + ≃ 1 :e n
effet, en raison de la condition (5.63), ˜
c + n’a pas le temps de varier de façon
appréciable. La solution approximative de l’équation donnant ˜
c − est alors
évidente
˜
c − (t) ≃
ω 1
2i
t
0
dt
′ exp[−i(ω − ω 0 )t
′ ]=−
ω 1
2
1 − exp[−i(ω − ω 0 )t]
ω − ω 0
(5.64)
ce qui donne pour la probabilité de transition à une fréquence ω, p(ω; t)
p(ω; t)=|˜ c − (t)|
2 =
1
4
ω
2
1 t
2 sin
2 [(ω − ω 0 )t/2]
[(ω − ω 0 )t/2] 2
(5.65)
Il semble donc que p(ω; t) ∝ t
2 pour |δ|t ≪ 1, mais ceci est dû au fait que
le spectre de fréquences de l’onde électromagnétique contient une fréquence
unique ω, ce qui est irréaliste. En réalité, on a toujours un spectre continu
de fréquences, et nous allons en tenir compte. Le rapport entre ce résultat et
celui obtenu à la résonance est
p(ω; t)
p(ω 0 ; t)
= f (ω − ω 0 ; t)=
sin
2 [(ω − ω 0 )t/2]
[(ω − ω 0 )t/2] 2
La fonction f (ω − ω 0 ; t) est tracée sur la figure 5.16 en fonction de ω. Elle
présente un pic aigu à ω = ω 0 , de largeur ∼ 2π/t.C o m p t et e n ud e
∞
−∞
sin
2 x
x 2 dx = π
l’aire sous la courbe est 2π/t et f (ω − ω 0 ; t) est approximativement un delta
de Dirac
f (ω − ω 0 ; t)=
sin
2 [(ω − ω 0 )t/2]
[(ω − ω 0 )t/2] 2 ≃
2π
t
δ(ω − ω 0 )
(5.66)
Ces résultats nous permettent de calculer le taux de transition de l’état |χ +
vers l’état |χ − dû à l’absorption de rayonnement électromagnétique par la
molécule dans son état fondamental
19 . Le flux d’énergie incident I d’une onde
électromagnétique est donné par le vecteur de Poynting
S = ε 0 c
2
E×
B
I = ε 0 c
2
E×
BB =
1
2
ε 0 cE
2
0
(5.67)
où •• représente une moyenne temporelle et le champ électrique est de la
forme (5.53). Dans ces conditions,
p(ω; t)=
d E 0
2
2
t
2 f (ω − ω 0 ; t)=2π
d
2
4πε 0 2 c
I t
2 f (ω − ω 0 ; t) (5.68)
19. Plus précisément, il s’agit de l’ensemble des transitions d’énergie (E 0 − A) à (E 0 + A)
(figure 5.12), ce qui suppose de sélectionner les molécules dans l’état (E 0 − A) par le
mécanisme décrit au § 5.2.2.