5. Systèmes à nombre de niveaux fini
177
pulation
16
. Le dispositif expérimental représenté schématiquement sur la figure 5.15 réalise cette amplification : les molécules sélectionnées dans l’état
|χ − traversent une cavité où règne un champ électrique oscillant à la fréquence de résonance et de longueur convenablement ajustée. Ce dispositif est
un prototype de maser
17
.
5.3.3 Transitions hors résonance
Nous nous plaçons maintenant hors résonance : ω ≃ ω 0 mais ω = ω 0 ,
et nous partons par exemple au temps t =0d’une molécule dans l’état
|χ + . Nous souhaitons calculer la probabilité p(ω; t) de trouver la molécule dans l’état |χ − au temps t. À l’approximation séculaire, la résolution des
équations d’évolution donne le résultat (5.43) que nous écrivons sous la forme
développée
18
p(ω; t)=
ω
2
1
(ω − ω 0 ) 2 + ω 2
1
sin
2
t
2
(ω − ω 0 ) 2 + ω 2
1
(5.62)
Rappelons que la fréquence de Rabi ω 1 = d E 0 /. Bien que nous ayons été
capables d’écrire une solution exacte, il est utile de donner une solution approchée simple des équations d’évolution lorsque la condition
d E 0 t
≪ 1
t ≪
dE 0
= τ 2
(5.63)
est satisfaite, c’est-à-dire pour des temps suffisamment courts. L’intérêt de
cette solution approchée est qu’elle se retrouve dans de nombreux problèmes
qui ne peuvent pas être résolus exactement et elle prépare le terrain pour le
chapitre 8. Nous avons à t =0, pour les composantes ˜
c ± (t) de | ˜
ϕ(t)
˜
c + =1
˜
c − =0
Nous nous intéressons à un processus où l’absorption de rayonnement électromagnétique permet de passer du niveau fondamental au niveau excité. Dans
16. Comme nous l’avons déjà vu en (5.45), si E 0 est l’énergie de l’état fondamental et E 1
celle de l’état excité, le rapport des probabilités p 1 /p 0 de trouver un système atomique ou
moléculaire dans un état E 1 ou E 0 est donné par la loi de Boltzmann : p 1 /p 0 =e x p[( E 0 −
E 1 )/k B T ] < 1. Il faut donc aller à l’encontre de l’équilibre thermique pour obtenir une telle
inversion de population.
17. Maser est un acronyme pour “Microwave Amplification by Stimulated Emission of
Radiation” et laser pour “Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation”.
18. Il est facile de voir que les équations d’évolution pour les composantes ˜
c ± (t) dans le
point de vue de l’interaction sont, à l’approximation séculaire,
i
d˜ c ± (t)
dt
=
1
2
ω 1 ˜
c ∓ (t) e
±iδt
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pulation
16
. Le dispositif expérimental représenté schématiquement sur la figure 5.15 réalise cette amplification : les molécules sélectionnées dans l’état
|χ − traversent une cavité où règne un champ électrique oscillant à la fréquence de résonance et de longueur convenablement ajustée. Ce dispositif est
un prototype de maser
17
.
5.3.3 Transitions hors résonance
Nous nous plaçons maintenant hors résonance : ω ≃ ω 0 mais ω = ω 0 ,
et nous partons par exemple au temps t =0d’une molécule dans l’état
|χ + . Nous souhaitons calculer la probabilité p(ω; t) de trouver la molécule dans l’état |χ − au temps t. À l’approximation séculaire, la résolution des
équations d’évolution donne le résultat (5.43) que nous écrivons sous la forme
développée
18
p(ω; t)=
ω
2
1
(ω − ω 0 ) 2 + ω 2
1
sin
2
t
2
(ω − ω 0 ) 2 + ω 2
1
(5.62)
Rappelons que la fréquence de Rabi ω 1 = d E 0 /. Bien que nous ayons été
capables d’écrire une solution exacte, il est utile de donner une solution approchée simple des équations d’évolution lorsque la condition
d E 0 t
≪ 1
t ≪
dE 0
= τ 2
(5.63)
est satisfaite, c’est-à-dire pour des temps suffisamment courts. L’intérêt de
cette solution approchée est qu’elle se retrouve dans de nombreux problèmes
qui ne peuvent pas être résolus exactement et elle prépare le terrain pour le
chapitre 8. Nous avons à t =0, pour les composantes ˜
c ± (t) de | ˜
ϕ(t)
˜
c + =1
˜
c − =0
Nous nous intéressons à un processus où l’absorption de rayonnement électromagnétique permet de passer du niveau fondamental au niveau excité. Dans
16. Comme nous l’avons déjà vu en (5.45), si E 0 est l’énergie de l’état fondamental et E 1
celle de l’état excité, le rapport des probabilités p 1 /p 0 de trouver un système atomique ou
moléculaire dans un état E 1 ou E 0 est donné par la loi de Boltzmann : p 1 /p 0 =e x p[( E 0 −
E 1 )/k B T ] < 1. Il faut donc aller à l’encontre de l’équilibre thermique pour obtenir une telle
inversion de population.
17. Maser est un acronyme pour “Microwave Amplification by Stimulated Emission of
Radiation” et laser pour “Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation”.
18. Il est facile de voir que les équations d’évolution pour les composantes ˜
c ± (t) dans le
point de vue de l’interaction sont, à l’approximation séculaire,
i
d˜ c ± (t)
dt
=
1
2
ω 1 ˜
c ∓ (t) e
±iδt