5. Systèmes à nombre de niveaux fini
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E 0 − d
E 0 + d 2 2 + A 2
E 0 + A
E 0 − A
E 0 + d
E 0 − d 2 2 + A 2
d /A
E
E 0
Fig. 5.13 – Valeurs de l’énergie en fonction du champ électrique E .
approximativement |ϕ 1 et |ϕ 2 . En pratique, on se trouve dans le cas opposé :
d E≪A. On peut alors développer la racine carrée dans (5.50)
E ± ≃ E 0 ∓ A ∓
1
2
d
2 E
2
A
(5.51)
À des termes d’ordre d E/(2A) près (exercice 5.5.4), les vecteurs propres sont
|χ + et |χ − . Si le champ électrique n’est pas uniforme, la molécule sera
soumise à une force
F ± = −
∇E ± = ±
d
2
2A
∇E
2
(5.52)
Comme dans l’expérience de Stern-Gerlach, on pourra séparer expérimentalement les états propres |χ ± du hamiltonien (5.18) en utilisant un champ
électrique inhomogène
13
: voir la figure 5.15.
Le schéma de niveaux que nous venons de trouver est très général : il met
en évidence le phénomène de répulsion des niveaux (figure 5.14). Si dE≫A,
les états propres du hamiltonien sont |ϕ 1 et |ϕ 2 .P o u rE =0 , ces deux
niveaux devraient se croiser et échanger leur stabilité. Il n’en est rien, à cause
de la valeur non nulle de A, qui entraîne que les deux niveaux ne se croisent
pas.
Supposons maintenant que le champ électrique est un champ oscillant
E(t)=E 0 cos ωt =
1
2
E 0
e
iωt + e
−iωt
E 0 r´ eel > 0
(5.53)
Le hamiltonien dépend explicitement du temps. Il sera commode de prendre
comme vecteurs de base les états stationnaires (5.47) |χ + et |χ − du
13. En pratique, le champ est choisi tel que l’état |χ − soit focalisé et l’état |χ + défocalisé : cf. Basdevant et Dalibard [2001], chapitre 6.