5. Systèmes à nombre de niveaux fini
165
Il existe deux cas particuliers importants de (5.37). Le spin initialement
dans l’état |+ sera trouvé dans l’état |−− pour des temps t donnés par
ω 1 t
2
=
n +
1
2
πn =0, 1, 2, 3, ...
(5.38)
Si le champ de radiofréquences est appliqué pendant un temps t vérifiant
(5.38), en général avec n =0, on dit que l’on a appliqué une impulsion π.Dans
l’interprétation géométrique, le spin orienté initialement suivant la direction
des z positifs se retrouve dans la direction des z négatifs (figure 5.7a). Lorsque
ω 1 t
2
=
n +
1
2
π
2
n =0, 1, 2, 3, ...
(5.39)
on dit que l’on a appliqué une impulsion π/2. Le spin se retrouve alors dans une
combinaison linéaire à poids égaux des états |+ et |−−, et dans l’interprétation
géométrique, le spin orienté initialement suivant Oz se retrouve suivant Oˆ y
(figure 5.7a).
Hors résonance, lorsque δ =0, on définit un vecteur unitaire ˆ
n par
ˆ
n : n x = −
ω 1
Ω
n y =0 n z =
δ
Ω
(5.40)
où la fréquence Ω vaut
Ω=
ω 2
1 + δ 2 =
ω 2
1 +(ω − ω 0 ) 2
(5.41)
Avec ces définitions, on peut écrire l’opérateur d’évolution ˆ
U sous la forme
d’un opérateur de rotation, et utiliser (3.49) pour le calculer
ˆ
U (t)=exp
−i
Ωt
2
[σ x n x + σ y n y + σ z n z ]
=exp
−i
Ωt
2
σ · ˆ
n
= I cos
Ωt
2
− i( σ · ˆ
n)s i n
Ωt
2
= I cos
Ωt
2
+ i
σ x
ω 1
Ω
− σ z
δ
Ω
sin
Ωt
2
(5.42)
Sil’onpartautempst =0de l’état |+, la probabilité d’observer le spin dans
l’état |−− au temps t sera
p − (t)=||−| ˆ
U (t)|+|
2 =
ω
2
1
Ω 2 sin
2 Ωt
2
(5.43)
165
Il existe deux cas particuliers importants de (5.37). Le spin initialement
dans l’état |+ sera trouvé dans l’état |−− pour des temps t donnés par
ω 1 t
2
=
n +
1
2
πn =0, 1, 2, 3, ...
(5.38)
Si le champ de radiofréquences est appliqué pendant un temps t vérifiant
(5.38), en général avec n =0, on dit que l’on a appliqué une impulsion π.Dans
l’interprétation géométrique, le spin orienté initialement suivant la direction
des z positifs se retrouve dans la direction des z négatifs (figure 5.7a). Lorsque
ω 1 t
2
=
n +
1
2
π
2
n =0, 1, 2, 3, ...
(5.39)
on dit que l’on a appliqué une impulsion π/2. Le spin se retrouve alors dans une
combinaison linéaire à poids égaux des états |+ et |−−, et dans l’interprétation
géométrique, le spin orienté initialement suivant Oz se retrouve suivant Oˆ y
(figure 5.7a).
Hors résonance, lorsque δ =0, on définit un vecteur unitaire ˆ
n par
ˆ
n : n x = −
ω 1
Ω
n y =0 n z =
δ
Ω
(5.40)
où la fréquence Ω vaut
Ω=
ω 2
1 + δ 2 =
ω 2
1 +(ω − ω 0 ) 2
(5.41)
Avec ces définitions, on peut écrire l’opérateur d’évolution ˆ
U sous la forme
d’un opérateur de rotation, et utiliser (3.49) pour le calculer
ˆ
U (t)=exp
−i
Ωt
2
[σ x n x + σ y n y + σ z n z ]
=exp
−i
Ωt
2
σ · ˆ
n
= I cos
Ωt
2
− i( σ · ˆ
n)s i n
Ωt
2
= I cos
Ωt
2
+ i
σ x
ω 1
Ω
− σ z
δ
Ω
sin
Ωt
2
(5.42)
Sil’onpartautempst =0de l’état |+, la probabilité d’observer le spin dans
l’état |−− au temps t sera
p − (t)=||−| ˆ
U (t)|+|
2 =
ω
2
1
Ω 2 sin
2 Ωt
2
(5.43)